bibkey: fibaffine2026growingmoduli authors: trureturing research synthesis year: 2026 title: Growing-modulus interfaces for affine Fibonacci Robin candidates doi: null url: https://github.com/the-omega-institute/trureturing claim: “A parameter comparison of the cited primary sources, including Pascadi’s 2025 unconditional exponent 5/8 and Bourgain–Garaev’s subpower prime-modulus reciprocal cancellation: finite positive moments and unweighted cancellation do not supply the same-candidate strict Robin budget with the actual low-loss weights.” strata_touched: [] license: citation-only triage: anchor

FIB 单位位一来源：增长模数的文献适用范围

本笔记保留可以用于后续逐点研究的数学接口和原始文献条件。它不宣称 RH、FIB 本族的逐点 Robin 不等式、完整文献搜索或原创性。所列推导均为纸面数学；不提供 Lean 核验。

目标与实际参数

研究

$$V=F_r,r\text{ 为充分大素数},\lceil V/10\rceil \le g\le \lfloor V/5\rfloor ,N=1+gV.$$

令 $X=1+V\lfloor V/5\rfloor$、$Y=2r-2$，并取完整赋值核心

$$C=\prod _{p\le Y}{p}^{v_p(N)},H=N/C.$$

前一份核心推导给：固定 $\kappa >0.0094243/(1-\log \varphi )$，每个充分大的潜在 Robin 反例都满足

$$\log H<\frac{\kappa \log N}{(\log \log N{)}^2}.$$

这里可取 $\kappa =1/50$。所以当前的真实文献接口不是常数余因子，而是

$$V\asymp X^{1/2},Y\sim \frac{\log X}{\log \varphi },H\le \exp \left((\kappa +o(1))\frac{\log X}{(\log \log X{)}^2}\right)=X^{o(1)}.$$

因 $F_r$ 的素因子均不小于 $2r-1$，$C$ 与 $V$ 互素，且

$$CH-gV=1,C\equiv H^{-1}(\mathrm{mod}V).$$

对固定实际 $H$，核心的大小区间为

$$\frac{1+V\lceil V/10\rceil }{H}\le C\le \frac{1+V\lfloor V/5\rfloor }{H}.$$

还必须检查 $C$ 的全部素因子不大于 $Y$、$H$ 的全部素因子大于 $Y$，以及真正的 $Z(CH)$。解出同余只是必要筛选。即使把文献的计数尺度改为 $x=X/H$，仍有

$$\frac{\log x}{\log V}⟶2,Y\asymp \log x,$$

一致于上述允许的 $H$ 范围；小余因子不会消除临界光滑度与指定模数误差的障碍。

可直接使用：Weingartner 的高正矩

Andreas Weingartner, The distribution functions of σ(n)/n and n/φ(n), II, arXiv:1011.4262v1 (2010).

• 原文：https://arxiv.org/html/1011.4262v1
• PDF：https://arxiv.org/pdf/1011.4262v1
• 对应位置：式（5），Lemma 5，Lemma 6。

其式（5）给 Euler 乘积

$$W(s)=\prod _p\left(1+\frac{(1-p^{-1}{)}^{-s}-1}{p}\right).$$

对 $s>0$，令非负乘法函数 $a_s$ 满足 $a_s(p)=(1-p^{-1}{)}^{-s}-1$、$a_s(p^k)=0$（$k\ge 2$）。有限展开给

$$\sum _{n\le X}(n/\phi (n){)}^s=\sum _{d\le X}{a}_s(d)\lfloor X/d\rfloor \le XW(s).$$

因此，无需任何变化参数与极限平均的交换，即有

$$\#\{n\le X:Z(n)\ge t\}\le XW(s)t^{-s}.$$

Lemma 5 的精确条件为 $s\ge e$、$s=z\log z$、固定整数 $m\ge 2$。其 $m=2$ 展开为

$$\log W(s)=s\log (e^{\gamma }\log z)-z+\frac{{\pi }^2}{6}\frac{z}{(\log z{)}^2}+O\left(\frac{z}{(\log z{)}^3}\right).$$

在 $A\to \infty$、$X/A$ 有界时，显式取 $t=e^{\gamma }\log \log A$、$z=\log A$、$s=z\log z$，得到

$$\#\{A\le n\le X:Z(n)\ge e^{\gamma }\log \log n\}\le \exp \left(\left(\frac{{\pi }^2}{6}+o(1)\right)\frac{\log X}{(\log \log X{)}^2}\right).$$

这给实际潜在反例的确定性数量上界，包括等号；它不把完整核心候选集也压到这个数量，更不推出不存在反例。它对整个区间成立，并非 FIB 专有。有限桥梁见 FIB 理论卷 §208 与同目录 weingartner2010distribution.md。

Lemma 6 的条件为 $t\ge 1$、$y=e^{t{e}^{-\gamma }}$；它展开 ${\min }_{s\ge e}W(s)t^{-s}$，前两主项同为 $-y+({\pi }^2/6)y/{\log }^{2}y$。此处不需要最优化步骤。

该文 Theorem 1 的 $A(t)$、$B(t)$ 是先固定 $t$ 后定义的极限分布尾。单独把其中的 $t$ 置为 $e^{\gamma }\log \log X$，不能证明本段的有限上界；真正桥梁是上面的非负有限展开。

Harper：单个剩余类的光滑数均匀分布

Adam J. Harper, On a paper of K. Soundararajan on smooth numbers in arithmetic progressions, arXiv:1103.2106v1 (2011).

• 原文：https://arxiv.org/html/1103.2106v1
• 精确位置：Theorem 1、Theorem 2。

Theorem 1：固定 $\delta >0$，$y\le x$，

$$2\le q\le y^{4\sqrt{e}-\delta },(a,q)=1,$$

且 $y$ 充分大（依赖 $\delta$），则在

$$\log x/\log q⟶\infty$$

的极限下，$\Psi (x,y;q,a)\sim {\Psi }_q(x,y)/\phi (q)$。

当前取 $q=V$、$y=Y$ 时有两个独立不满足的前提：$q\asymp X^{1/2}$ 超过每个固定 $Y^A$，而 $\log (X/H)/\log q\to 2$，不趋于无穷。Theorem 2 的陪集版本仍要求 $q\le y^A$（固定 $A$）及相同对数比极限，因此也不能直接接入。论文讨论的 Soundararajan 猜想原表述仍有这两个前提；仅假设该猜想为真也不足以覆盖当前参数。

Pascadi：大模数平均与指定模数的误差

2023 论文的 2025 版本：模数指数 $66/107$

Alexandru Pascadi, Smooth numbers in arithmetic progressions to large moduli, arXiv:2304.11696v3 (2025版)。

• 原文：https://arxiv.org/html/2304.11696v3
• 精确位置：Theorem 1.1。

对固定非零整数 $a$、$A,\epsilon >0$，存在 $C=C(A,\epsilon )>0$，当

$$x>2,(\log x{)}^C\le y\le x^{1/C},$$

有

$$\sum _{\begin{array}{c}q\le x^{66/107-\epsilon }\\ (q,a)=1\end{array}}\left|\Psi (x,y;a,q)-{\Psi }_q(x,y)/\phi (q)\right|{\ll }_{a,A,\epsilon }\Psi (x,y)/(\log x{)}^A.$$

模数指数 $1/2$ 确实低于 $66/107$，但这一条指数比较不满足整个定理：

• 当前 $y\asymp \log x$，原文给出的存在性常数 $C$ 不保证允许指数1；不能自行取 $C=1$。
• 结论的绝对误差总和非负，可以合法抽取指定模数 $F_r$ 的一项；但所得上界仍为完整的 $\Psi (x,y)/(\log x{)}^A$，没有额外的 $1/\phi (F_r)$ 因子，不能仅凭此界断言已控制这一剩余类的实际命中数。
• 当前剩余类为 $H^{-1}\mathrm{mod}V$，随实际 $H$ 改变；所引 Theorem 1.1 的 $a$ 固定。

即使另行弥补光滑度和剩余类的一致性，平均误差界本身仍需足够强到能控制这一个模数的实际命中数。不能把平均主项小于1与逐点没有整数命中等同。

2025 新论文：无条件模数指数 $5/8$

Alexandru Pascadi, On the exponents of distribution of primes and smooth numbers, arXiv:2505.00653v2，2025-06-29。

• 原文：https://arxiv.org/html/2505.00653v2
• 精确位置：[Theorem 1.5 及其后的 Remark](https://arxiv.org/html/2505.00653v2#S1.Thmtheorem5)。

此文与上面的 arXiv:2304.11696v3 是不同论文。Theorem 1.5 无条件推进了光滑数分布的模数指数：对固定 $a\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$、$A,\epsilon >0$ 及 $x\ge 2$，存在充分大的 $C=C(a,A,\epsilon )>0$，使得当

$$(\log x{)}^C\le y\le x^{1/C},Q\le x^{5/8-\epsilon },$$

有

$$\sum _{\begin{array}{c}q\le Q\\ (q,a)=1\end{array}}\left|\Psi (x,y;a,q)-\frac{{\Psi }_q(x,y)}{\phi (q)}\right|{\ll }_{\epsilon ,A,a}\frac{\Psi (x,y)}{(\log x{)}^A}.$$

当前 $x=X/H=V^{2-o(1)}$，故 $V=x^{1/2+o(1)}$。固定 $0<\epsilon <1/8$ 并取充分大规模后，模数大小已在新定理范围内；不能继续把 $66/107$ 当作这条路线最新的无条件指数。临界光滑度 $Y\asymp \log x$ 仍不由定理保证；即使用较宽的 $Y\asymp \log x\log \log x$ 截断，也不能自行把存在性常数 $C$ 取为1。

这里平均的是模数，光滑整数本身没有任意给定系数。定理后的 Remark 指出，可按 Drappeau–Granville–Shao 的方法推广到光滑支撑乘法函数；它没有直接给出本题随规模增长的素数幂增量权的一致估计。对 $s>0$、$Z(n)=\sigma (n)/n$，实际权重为

$$w_s(d)=\frac{b_s(d)}{d},b_s(p^j)=Z(p^j{)}^s-Z(p^{j-1}{)}^s(j\ge 1).$$

它们一般不完全乘法，并且 $w_s(2)=((3/2{)}^s-1)/2$ 随 $s$ 增长；全源在每个素数处都有非零增量，有限光滑截断必须另计尾项。扩大光滑支撑以满足定理下限，也必须支付改变后的 $\Psi (x,y)$ 和实际权重成本。

即使其余前提成立，从非负总和抽取指定 $q=V$ 仍只得到上述总误差，不会自动得到额外的 $1/\phi (V)$。固定 $A$ 时，这个误差上界不能被当作相对于单余类主项的小误差，更不等于该余类没有整数命中。原定理还固定 $a$；在除数或核心切面上，$H^{-1}\mathrm{mod}V$ 随实际余因子改变，其一致性不能由此陈述直接代入。对后续分解 $N_g=dh=1+Vg$，还必须保留同一个乘积的区间 $d\in [(1+V\lceil V/10\rceil )/h,X/h]$ 与同余 $dh\equiv 1(\mathrm{mod}V)$。新的平均分布定理改进了可复用背景，尚未关闭这一指定模数、真实权重和共同乘积窗口的联合接口。

Jennings–Pollack–Thompson：丰数分布的量词

Emily Jennings, Paul Pollack, Lola Thompson, Variations on a theorem of Davenport concerning abundant numbers, arXiv:1306.0537v1 (2013)。

• 原文：https://arxiv.org/html/1306.0537v1
• 精确位置：Corollary 1.3 后的 Dirichlet 字符应用。

原文明确先固定 $q\in \mathbb{N}$ 和 $0<u\le 1$，然后断言满足 $n/\sigma (n)\le u$ 且与 $q$ 互素的整数，在模 $q$ 的可逆剩余类中渐近均匀分布。

当前 $q=V\asymp X^{1/2}$，同时 $u=(e^{\gamma }\log \log X{)}^{-1}\to 0$。这两个参数均未固定；所引结果没有给所需的一致性。因此它提供分布问题的正确固定参数基线，不提供本族的移动阈值逐点 Robin 估计。

Shparlinski：逆元集合的平均与稀疏输入

Igor E. Shparlinski, Distribution of modular inverses and multiples of small integers and the Sato–Tate conjecture on average, arXiv:math/0608596v3 (2006)。

• 原文：https://arxiv.org/html/math/0608596v3
• 精确位置：$M_{a,m}$ 定义与 Theorem 1。

令 $M_{a,m}(\mathcal{X};Y,Z)$ 按同余解对 $(x,h)$ 计数：$x\in \mathcal{X}$、$(x,m)=1$、$h\in [Z+1,Z+Y]\cap \mathbb{Z}$，且 $a{x}^{-1}\equiv h(\mathrm{mod}m)$。当 $Y>m$ 时保留同一个 $x$ 对应多个 $h$ 的重数；不能只检查一个标准余数代表。Theorem 1 对正整数 $m,X,Y$、整数 $Z$、任意 $\mathcal{X}\subseteq [-X,X]$ 给

$$\sum _{a=1}^m{\left|M_{a,m}(\mathcal{X};Y,Z)-|{\mathcal{X}}_m|Y/m\right|}^2\le |\mathcal{X}|(X+Y)m^{o(1)}.$$

原文描述的一个非平凡使用范围是足够稠密的 $\mathcal{X}$，及 $X,Y\ge m^{1/2+\epsilon }$。

当前 $CH\equiv 1(\mathrm{mod}V)$ 需要固定 $a=1$，核心集合稀疏，而余因子区间长为 $V^{o(1)}$，远小于 $V^{1/2}$。该均方定理没有因此给出指定 $a=1$ 的无命中结论。也可对每个核心写 $g_C=-V^{-1}\mathrm{mod}C$，但这样模数 $C$ 随核心改变；不能直接当成一个固定模数逆元分布。逆元映射是单位群置换，只保持整个单位群的计数，并不自动使光滑稀疏子集在短区间均匀分布。

Bourgain–Garaev：素数模的次幂长度消去与逐点误差

Jean Bourgain, M. Z. Garaev, Sumsets of reciprocals in prime fields and multilinear Kloosterman sums, arXiv:1211.4184v1 (2012)。

• 原文：https://arxiv.org/pdf/1211.4184v1
• 精确位置：Theorem 16，第10页；§12.2 的证明从第54页开始。

在素数模 $p$ 下，令 $n^{-1}$ 为模 $p$ 逆元、$e_p(z)=\exp (2\pi iz/p)$。对 $2\le M<p$，所引定理给

$$\underset{a\not\equiv 0(\mathrm{mod}p)}{\max }\left|\sum _{n\le M}{e}_p(a{n}^{-1})\right|\ll M\frac{(\log \log p{)}^3\log p}{(\log M{)}^{3/2}},$$

隐常数绝对。原文列出的非平凡使用范围包括

$$M>\exp ((\log p{)}^{2/3}(\log \log p{)}^3).$$

这里的 $M$ 是从1开始的未加权区间端点；不能把该式当作任意平移区间、任意系数或低亏损子集上的同一估计。素指标 $r$ 也不保证 $F_r$ 为素数。

仅在另外满足 $p=V=F_r$ 为素数时，可以比较旧大除数分支的最大余因子尺度。令 $y=\log (1+V\lceil V/10\rceil )$，固定 $a_0>0$，取整数端点

$$M=\lfloor \exp \left(\frac{a_{0}y}{(\log y{)}^2}\right)\rfloor .$$

由于 $y=2\log p+O(1)$，这个端点充分大时在上述消去范围内。写

$${\epsilon }_p(M)=\frac{(\log \log p{)}^3\log p}{(\log M{)}^{3/2}},$$

则在这个端点尺度有

$${\epsilon }_p(M){\asymp }_{a_0}\frac{(\log \log p{)}^6}{\sqrt{\log p}}⟶0,M{\epsilon }_p(M)⟶\infty .$$

因此，“次幂区间一律太短而没有消去”不是这里的正确障碍。即使以该统一频率界控制一个指定逆元剩余类的未加权计数，误差尺度仍是 $M{\epsilon }_p(M)$；主项 $M/p$ 加这个误差的上界不能降到1以下以证明无命中。相对消去不等于指定单点排除。

此外，一个实际余因子 $h\le M$ 未必达到定理的非平凡尺度。实际约束还包括 $d\mid N$、$dh=N=1+Vk$、共同乘积窗口以及 $J_s(d)\le J_0$。定理没有给这个子集的加权消去，更没有给同一个 $N$ 的完整价格损失。以所有 $n\le M$ 的消去替换经过低亏损筛选的部分和，没有可直接引用的支配关系。

Jean Bourgain, M. Z. Garaev, Kloosterman sums in residue rings, arXiv:1309.1124v1 (2013)。

• 原文：https://arxiv.org/pdf/1309.1124v1
• 精确位置：Theorem 5，第4页；§6.2 的证明从第14页开始。

其复合模数版本对固定小常数 $c>0$ 和 $M>m^c$ 给

$$\underset{(a,m)=1}{\max }\left|\sum _{\begin{array}{c}n\le M\\ (n,m)=1\end{array}}{e}_m(a{n}^{-1})\right|{\ll }_{c}M\frac{(\log \log m{)}^{O(1)}}{\sqrt{\log m}}.$$

不能令 $c$ 随 $m$ 趋于0来覆盖 $M=m^{o(1)}$，因为定理固定 $c$，且隐常数依赖它。这个版本不弥补上述次幂余因子尺度在一般 $F_r$ 模数下的接口；素数模版本的全部非零频率界也不能直接运输到这里只控制可逆 $a$ 的陈述。

Garaev–Shparlinski：选择模数产生的逆元聚集

Moubariz Z. Garaev, Igor E. Shparlinski, On the distribution of modular inverses from short intervals, arXiv:2304.07953v1 (2023)。

• 原文：https://arxiv.org/pdf/2304.07953v1
• 精确位置：Theorem 1.1，第3页；§3.1，第6—7页。

该定理对任意固定 $A_0>1$ 和充分大的整数 $M$，给出存在某个素数 $p$，满足

$$M\asymp (\log p{)}^{A_0},D_p(M)\gg 1,$$

其中 $D_p(M)$ 是序列 $n^{-1}/p$（$1\le n\le M$）的归一化 discrepancy。证明先取 $[M,2M]$ 中的 $(2M{)}^{1/A_0}$-光滑数集合 $\mathcal{S}$，令 $m=\mathrm{lcm}(\mathcal{S})$，再选素数 $p\equiv -1(\mathrm{mod}m)$。于是每个 $z\in \mathcal{S}$ 的标准逆元代表恰好是 $(p+1)/z$，由这份共同模数选择产生聚集；正文在长度 $2M$ 上完成论证。

它反驳的是把所有短逆元区间一律当作均匀分布的外推。它没有把模数限制为 Fibonacci 数，也没有保留实际同价参考 $C_s$、低亏损筛选或 $N=1+F_{r}k$ 的窗口。因此这是自由选模数下的障碍实例，不能登记为原 FIB 候选的反例，更不能登记为 Robin 反例。其长度范围也不同于前一节已经有非平凡消去的次幂端点，两个结论不矛盾。

近期模双曲线与光滑相邻数：共同来源条件

Tsz Ho Chan, Close Points on a Modular Hyperbola, INTEGERS 26A (2026), #A5，发表版本 2026-09-28。

• 原文：https://math.colgate.edu/~integers/aap5/aap5.pdf
• 精确位置：Theorem 2，第3页；§4，第5—7页。

令 $p>2$ 为素数、$(c,p)=1$，$\mathcal{M}$ 是具有正下密度 $\delta$ 的乘法封闭正整数集。该定理对每个固定 $ϵ>0$ 给常数 $C_{\delta ,ϵ}$，保证模双曲线 $xy\equiv c(\mathrm{mod}p)$ 上存在两个点 $(x,y)$、$(x+h,y+k)$，且

$$h,k\in \mathcal{M}\cap \left[1,C_{\delta ,ϵ}{p}^{1/4}\exp ((\log p{)}^{1/2+ϵ})\right].$$

基点 $(x,y)$ 是存在性结论的一部分，没有固定为实际低亏损除数及其余因子；$h,k$ 是两点之间的增量。定理的方向是存在两点，而当前目标是排除指定的危险共同实现或支付其预算。固定光滑界的光滑数集合虽乘法封闭，下密度却为0；让光滑界随 $p$ 增长也不能忽略所需密度与常数的一致性。对数光滑稀疏核心不由这里的正下密度假设直接覆盖。仅出现同一模双曲线方程，不足以运输结论。

Erik Mulder, Bruno Sterner, Wessel van Woerden, Large smooth twins from short lattice vectors, arXiv:2509.17699v3，版本 2026-09-17。

• 原文：https://arxiv.org/pdf/2509.17699v3
• 精确位置：Theorem 1.3，第2页；Heuristic 3.1 及其应用，第5—6页。

论文给出搜索连续 $B$-光滑整数的短格向量算法；Theorem 1.3 的极值渐近明确以 Heuristic 3.1 为前提，不是无条件的相邻光滑数排除界。实际来源 $N=1+Vk$ 没有要求 $N$ 与 $N-1$ 同时 $B$-光滑，且素指标 Fibonacci 模数与低亏损权重也是额外条件。可以复用其候选搜索工具时，仍须另作这些实际来源检查；启发式极值和有限搜索不能支付 §233.5 的统一完整预算。

Munsch–Shparlinski–Yau：另一个光滑度范围的存在下界

Marc Munsch, Igor E. Shparlinski, Kam Hung Yau, Smooth squarefree and square-full integers in arithmetic progressions, arXiv:1810.02573v2 (2019版)。

• 原文：https://arxiv.org/html/1810.02573v2
• 精确位置：Theorem 1.1。

该定理固定

$$\beta \in (23/24,1],\alpha \in (9/2-3\beta ,3\beta ],$$

并对素数模数 $p\to \infty$、可逆剩余类 $(a,p)=1$、$x=p^{\alpha +o(1)}$、$y=p^{\beta +o(1)}$ 给平方自由光滑数的下界

$${\psi }^{♯}(x,y;p,a)\ge x^{1+o(1)}/p.$$

当前 $V=F_r$ 不假设为素数，且 $Y=V^{o(1)}$，相当于光滑度指数趋于0，超出该固定 $\beta$ 范围。它给存在性下界，本来也不是排除 Robin 反例的上界。不能因目标中出现逆元、素指标、光滑核心等相同术语就转移其结论。

素数乘积覆盖与小子群：保持结论方向和实际尺度

Kaisa Matomäki, Joni Teräväinen, Products of primes in arithmetic progressions, arXiv:2301.07679v3， 版本 2024-02-15，Theorem 1.1，第1—2页。记

$$E_3(Q)=\{a\in (\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }:a\equiv p_1{p}_2{p}_3(\mathrm{mod}q),p_1,p_2,p_3\le Q\text{ 为素数}\}.$$

该定理给充分大的无立方因子模数 $q$ 上 $E_3(q)=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$；对任意固定 $\epsilon >0$，充分大的任意模数则有 $E_3(q^{1+\epsilon })=(\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}{)}^{\times }$。 后一结论直接覆盖可能有重复素因子的 $V=F_r$。它强于 Szabó 的 arXiv:2208.05762v1 Theorem 3 的 $q^{6/5+\epsilon }$ 三素数覆盖界；该旧界不作为 额外可推进目标的结果重做。

这里覆盖的是每个单位余类中存在某个素数乘积。实际来源需要 $N=1+Vk$ 的固定实大小窗口、同价参考的可移除层库存和真实低亏损 约数权重。定理没有保证这些条件，也没有给价格约为 $s=y\log y$ 的添加成本下界。尤其所允许的素数上限是 $V^{1+\epsilon }$（无立方因子分支是 $V$），而核心光滑界 $Y\asymp \log X=V^{o(1)}$。不能把所有余类的存在覆盖反向用成 某个实际低成本来源的排除或严格预算。

Marc Munsch, Igor E. Shparlinski, On smooth square-free numbers in arithmetic progressions, arXiv:1710.04705v3， 版本 2018-06-11，Theorem 1.1，第3页，给素数模数 $p$ 上、每个固定 $\alpha >1/(4\sqrt{e})$ 的单位余类一个 $p^{\alpha }$-光滑平方自由代表， 其大小不超过 $p^{2+o(1)}$。Theorem 1.3 的更小固定 $\alpha >0$ 版本允许在 $[Q,2Q]$ 中有 $Q^{o(1)}$ 个例外素数。 即使另有 $V$ 为素数的条件，当前 $Y=V^{o(1)}$ 也不满足第一项 固定正指数光滑度；例外计数没有保证特殊 Fibonacci 模数不在其中。 二者仍是存在方向，没有实际成本权重或指定窗口的排除结论。

Jean Bourgain, Sergei Konyagin, Igor Shparlinski, Distribution of elements of cosets of small subgroups and applications, arXiv:1103.0567v1， Theorems 1—5，第3—4页，给素数模数 $p$ 中某子群陪集内小整数 及低有理高度元素的计数上界；Theorem 4 的参数还保留 $K\le \sqrt{p/2}$。应用时须指定实际素数 $p\mid V$、子群阶和 该高度范围，不能直接用整个复合 $V$ 代替素数模数。

四次特征成本应用中的四个相位值 不是一个四元素核。在素数模数 $p$ 上，阶四特征的核有 $(p-1)/4$ 个元素；$t^2=-1$ 的四元素根群与这个核是两个不同对象。 这篇论文的“小子群”条件及计数强度因而不能由“有四相”自动取得。 即使某个实际参数满足其计数界，一个不小于1的上界也不排除指定点， 而无权计数并不控制 §233.5 的完整加权贡献。上述来源条件可直接复用， 尚未提供当前共同来源的统一严格预算；这不是完整文献搜索或原创性结论。

全部低亏损除数的范围与退化端点

上面的完整赋值光滑核心 $C$ 及其粗余因子 $H$，与 FIB §232—233 的任意低亏损除数 $d$ 及其补因子 $h=N/d$ 是不同分解；同价 CA 参考 $C_s$ 也不是这个 $C$。它们不能共用未证的素数下界或余因子阈值。

对实际来源仍取

$$V=F_r,r>5\text{ 为素数},\lceil V/10\rceil \le k\le \lfloor V/5\rfloor ,N=1+Vk>5040.$$

§231 的大除数分支还要求 $d>X/\exp (aR)$，从而给 $h<\exp (aR)$；§232—233 的全部低亏损除数不保留这项阈值。前一节取 $M=\lfloor \exp (a_{0}y/{\log }^{2}y)\rfloor$ 所做的逆元消去比较，因而只覆盖相应旧子分支的端点比较，不能扩大成所有 §233 候选的补因子界。

Erdős–Nicolas 来源笔记的 “Low increment loss supplies a smaller reconstruction height” 已给低亏损集合的 $O_K(y/\log y)$ 编辑高度；[Monagan 来源笔记](../Arith/monagan2004reconstruction.md)的 “Whole-host bounds and actual-source filters” 已处理完整补因子约分。这些结果直接复用，不另造重建定理；可取得唯一共同来源仍不提供价格损失的符号。

令 $c=\gcd (d,C_s)$、$b=C_s/c$、$\tau =\gcd (h,b)$。已有完整补因子公式保留如下退化端点：$h=1$ 时没有新增补因子成本；$h=\tau$ 时补因子只恢复缺失的参考素幂层，没有外加素幂成本。若全部素因子很小，也不能先当作粗余因子收费。这些是必须覆盖的代数情形，尚未断言它们在一个实际未支付候选上发生。

所需估计仍是 同价价格笔记中同一个实际 $N$ 的 $D_s(N)>T_s(N)$，或直接支付 FIB §233.5 的完整低亏损与高亏损贡献。参考 $C_s$ 保留全部零成本 ties；实际素幂重数、乘积窗口、指定余类和低亏损条件须同时保留。仅在旧大除数分支证明估计、仅在 $F_r$ 另外为素数时得到消去，或只对无权逆元的整体给相对误差，都不是这个全范围结论。

仍缺的联合关系

在这里列明的原文范围内，未找到可以直接用于当前参数、当前指定模数和当前剩余类的逐点排除定理。这个陈述只针对上述已读原文范围，不能推出不存在适用文献或当前路线原创。

一个可继续检验的精确接口是等差数列的矩分解。对正整数 $V$、非空有限正整数区间 $I$，$T=|I|$、$X={\max }_{g\in I}(1+gV)$，

$$\sum _{g\in I}{\left(\frac{1+gV}{\phi (1+gV)}\right)}^s=\sum _{\begin{array}{c}d\le X\\ (d,V)=1\end{array}}{a}_s(d)\#\{g\in I:g\equiv -V^{-1}(\mathrm{mod}d)\}.$$

每个内层计数为 $T/d+{\epsilon }_d$，$|{\epsilon }_d|\le 1$。因此逐项用上界 $T/d+1$ 会留下加权边界项；不能在增长的 $s$ 下把它无条件丢弃。全区间矩法规避了这个边界项并给稀疏性，但没有识别哪个实际核心可以与其逆元小余因子共同实现。

最终需要的排除必须指向同一个 $N=CH=1+gV$：光滑核心的约数和增益、完整赋值截断损失、粗余因子的大小与素数下界、固定 Fibonacci 模数上的逆元同余，以及乘子区间。分别估计这些边缘数量或分别达到各自最优值，仍不足以排除它们共同组成一次 Robin 超界。