bibkey: “butucea2023selection” authors: “Cristina Butucea; Enno Mammen; Mohamed Ndaoud; Alexandre B. Tsybakov” year: 2023 title: “Variable selection, monotone likelihood ratio and group sparsity” doi: “10.1214/22-AOS2251” url: “https://arxiv.org/abs/2112.15042v1” claim: “The pinned preprint gives prior art for likelihood scan selection and distinct exact versus unrestricted Hamming risks; its Proposition 3 containment (2.19) and Appendix Lemma 2 inequality (A.1) have the explicit counterexample below, so neither auxiliary assertion is used.” strata_touched: [] license: “citation-only” triage: “anchor”

Variable selection, monotone likelihood ratio and group sparsity

期刊书目信息为 The Annals of Statistics 51(1) (2023)， DOI 10.1214/22-AOS2251。 本文逐条讨论的原始正文是 43 页的 arXiv:2112.15042v1，首页标明 2021 年 12 月 30 日。作者、标题、期刊、卷期、年份及 DOI 有 Crossref 书目记录对应；期刊最终正文不在这里的逐条核对范围内。因此以下反例只限定于该 预印本版本，不断言期刊版保留了相同错误，也不断言期刊版已作修正。

模型、决策类与可引用的先例

第 1 节的枢轴选择模型观察独立坐标，其中恰好 $s$ 个服从 $P_1$， 其余服从 $P_0$；相对于共同支配测度的密度为 $f_1,f_0$。 无约束 Hamming 选择器可以输出任意二元向量，输出大小不要求为 $s$。 定理 3（第 11 页）讨论固定基数均匀先验下的无约束 Hamming Bayes 与极小极大选择器。 第 13 页引入按最大的 $s$ 个似然比选择的扫描规则，并在式 (2.21) 要求所有坐标似然比几乎处处互异。式 (2.20) 是无约束后验阈值选择器的表达式， 不是扫描规则的定义式。

定理 4（第 14–15 页）陈述扫描规则的无约束 Hamming 风险二倍界； 定理 5（第 15–16 页，式 (2.23)–(2.25)）陈述它对错误支持概率的 Bayes 与极小极大最优性。定理 6 及推论 2 将精确恢复的障碍写成信号与背景的 极值交叉。这些选择问题、损失区别、似然排序及极值分离思想提供既有文献背景。 其中定理 4 的所示证明引用了下述错误的附录引理；其二倍界应由后文的独立论证支持， 不能因结论本身正确而把所引辅助步骤也视为有效。

指定版本中的两个错误辅助断言

预印本命题 3（第 12 页）的式 (2.19) 声称，无约束 Hamming Bayes 选择器的支持包含于最大的 $s$ 个似然比所对应的位置。取

s=2,\qquad
(w_1,w_2,w_3,w_4)=\left(1,\frac{11}{10},\frac65,\frac1{1000}\right).

固定大小为 $2$ 的均匀支持先验给出后验质量 $\pi (S\mid w)={\prod }_{i\in S}{w}_i/e_2(w)$，其中

e_2(w)=\frac{36233}{10000},\qquad
(\pi_1,\pi_2,\pi_3,\pi_4)
=\frac1{36233}(23010,24211,25212,33).

前三个后验包含概率均严格大于 $1/2$，第四个严格小于 $1/2$。 故无约束 Hamming Bayes 规则选择 $\{1,2,3\}$，而最大的两个权重 只对应 $\{2,3\}$。式 (2.19) 不成立。权重互异、全为正，且阈值不取等号。

附录引理 2（第 32 页）的式 (A.1) 断言

e_s(w_{-j})\gt w_{(s),-j}\,e_{s-1}(w_{-j}),

其中 $w_{(s),-j}$ 为删去第 $j$ 项后的第 $s$ 大权重。 同一组权重在 $j=1$ 时给出相反的严格不等式：

e_2(w_{-1})=\frac{13223}{10000}
\lt \frac{25311}{10000}
=\frac{11}{10}\left(\frac{11}{10}+\frac65+\frac1{1000}\right)
=w_{(2),-1}e_1(w_{-1}).

原证明把每个大小为 $s-1$ 的集合补成大小为 $s$ 的集合，但这个映射 不必单射。像集的真包含不能推出按所有原像求和的乘积不等式。

上述反例也能在连续且具有单调似然比的独立坐标模型内实现。取区间 $(0,2)$ 上的密度

f_0(x)=\frac12,\qquad f_1(x)=\frac{x}{2},\qquad
\frac{f_1(x)}{f_0(x)}=x.

两者均归一化，似然比严格递增，独立样本的似然比几乎处处无并列。 在任一固定真实支持下，所列权重向量的一个充分小开邻域具有正概率， 且上述严格反例在该邻域内保持。因此错误不能归因于零权重、单点零概率或并列值。

不依赖错误辅助命题的正确代数

对任意全正权重及固定基数 $q$ 的乘积后验，令 $e_k$ 为基本对称多项式， $e_0=1$。直接拆分包含两个位置的支持，得到

\pi_i-\pi_j
=\frac{(w_i-w_j)e_{q-1}(w_{-\{i,j\}})}{e_q(w)}.

因此后验包含概率按权重同序；无约束 Bayes 规则是 $\{i:{\pi }_i\ge 1/2\}$，其大小可以超过 $q$。 另一方面，最大的 $q$ 个权重使后验支持质量最大，并使所有大小为 $q$ 的输出中的后验期望交集最大。这分别给出精确损失和受约束 Hamming 损失的 Bayes 最优性，不需要 (2.19) 或 (A.1)。并列权重可在截断位置随机选择。

二倍 Hamming 界也有独立证明。对任意输出集合 $A$，将它截短或补齐为一个 $q$ 元集合 $A_q$，使 $|A_q△A|=||A|-q|$。对每个真实 $q$ 元支持 $S$，

|A_q\triangle S|
\le |A_q\triangle A|+|A\triangle S|
=\bigl||A|-q\bigr|+|A\triangle S|
\le 2|A\triangle S|.

先取 $A$ 为无约束后验 Bayes 输出，再取条件期望。 后验最优的 $q$ 元输出的风险不超过 $A_q$ 的风险，所以至多为 无约束 Bayes 风险的两倍。上述乘积后验中，该最优 $q$ 元输出正是权重扫描规则。 在支持置换对称的模型中，均匀随机处理并列值使其风险恒定，从而同一结论转为 相应的极小极大二倍界。这个证明不假设无约束 Bayes 输出包含于扫描输出。

在奇偶核模型中的适用边界

独立坐标的文献结论不直接提供马尔可夫路径的联合计数律。 奇偶核的支持恢复证明需要另外建立真实完整似然的乘积权重分解，直接使用上述 后验代数，并在同一个真实支持与方向下运用一行、两行的相对加加性概率估计。 实际行计数可以相关，得分也可以并列；不得把文献的独立性及无并列假设移入该模型。

经典选择原则属于已有文献背景；补偿模型中两个真实平稳实验的严格相界及其传递 属于本仓推导，不由该文献自动给出，也不据此主张全球原创性。 本条目的版本限定、辅助反例和独立论证不改变上述引用的适用范围。