bibkey: dusart2010estimates authors: Pierre Dusart year: 2010 title: “Estimates of Some Functions Over Primes without R.H.” doi: null url: https://arxiv.org/abs/1002.0442 claim: Explicit prime-counting and short-interval estimates for the Erdős 699 continuation, and eventual theta and Mertens estimates for the Robin support-loss comparison. strata_touched: [] license: citation-only triage: anchor

Erdős 699：显式素数估计的来源与用途

研究关联：issue #9670，Draft PR #9723。 唯一推导正文：docs/develop/theory/ERDOS_699_BINOMIAL_COMMON_PRIME.md，尤其 §§12–15。 本条仅保存外部依赖的来源与使用边界，不登记 Lean 定理，不宣告开放问题解决，不充当 Scribe 的形式化证明收据。

主来源

Pierre Dusart, Estimates of Some Functions Over Primes without R.H., arXiv:1002.0442v1，2010-02-02。

• 元数据：https://arxiv.org/abs/1002.0442
• 全文：https://arxiv.org/pdf/1002.0442
• 本轮检索日期：2026-09-24。
• 已实际读取正文，并检查 PDF 第 8、9 页的页面图像，核对以下常数、上下端点、自然对数的平方和适用范围。

Proposition 6.8，印刷页 8：当 x >= 396738，存在素数 p，满足

x < p <= x * (1 + 1/(25*(log x)^2)).

Theorem 6.9，式 (6.5)，印刷页 9：当 x > 1，

pi(x) <= x/log(x) * (1 + 1.2762/log(x)).

两者均按该文无 RH 假设的已知定理使用，未由本项目本轮重新证明。检查器只核对应用过程的精确有理常数，不能认证整个外部定理。

具体使用位置

理论卷定理 12.1 从整系数轨道多项式的根方差和正整数判别式，自行推导 g^4*i^i >= (2*(n-1))^i，不使用本来源。

§13 对假想反例用 g <= n^pi(i-1)。上面的素数计数估计证明每个 i >= 121 都具有显式有限行上界；对于 i >= 400000，更推出 n < 512*i。再把短区间定理应用于 x=n-i，取得同时整除两个二项式的素数，完成这个大指标区域的书面证明。

400000 是本轮证明给出的保守显式阈值，不声称最优，也不声称原题其余区域已被排除。本轮未取得 Rosser–Schoenfeld 1962 原始全文；因此它未被当成已核验的替代前提。外部数学结果的历史归属保留给原作者，当前推导无文献优先权主张。

2026-09-24 续接：全部 i>=325 的区域定理

原 #9723 已合并，本次在同一理论卷追加 §§25–28。两个 Dusart 定理重新读取并截图核对原文印刷页 8–9。它们仍是仅有的解析数论外部前提。

§25 先证明经典 Hermite/Vandermonde 极值公式的当前归一化版本，从而对 i>=256 得 g_i^4*i^i>[6(n-1)]^i。Hermite 背景参考是 NIST DLMF §18.9，https://dlmf.nist.gov/18.9 ，已读取其递推与导数部分。该网页只作背景来源；首一 He 的递推、微分方程、resultant 判别式递推和极值证明均写在 §25.1，不将物理学归一化的 Hermite 公式误作本式，也不对经典极值事实主张优先权。

对 i>=3000，Dusart 素数计数上界与新判别式界给出 n<2048*i。当 x=n-i>=396738，短区间定理给出 n-i<p<n。较小 x 的情形以及全部 325<=i<=2999，由明确的整数幂比较归约到 n<2^31，再使用 §26 的完整有限素数间隙证书。两套实际执行的确定性分段筛均得到 pi(2^31)=105097565、下一个素数 2147483659、最大间隙 292，最大间隙端点 1453168141,1453168433。

这个区域定理同时包含书面推导与明确使用的有限计算引理。它不是对原题三元组的有限采样，也没有证明 3<=i<=324 的剩余情形。有限比较2675项、两套全区间筛和程序哈希均在 §28 记录；它们未被称为独立数学评审或 Lean 核验。数值292是本轮完整筛的结果，不是从外部网页抄录的定理前提。没有新增 Scribe 数学真值或解决计数。

Robin 支撑损失所需的渐近输入

同一 arXiv:1002.0442v1 原文 的 Theorem 5.2（印刷页 4）给出 $|\vartheta (x)-x|$ 的显式 $x/{\log }^{k}x$ 界，其中 $k=2$ 的行蕴含

$$\vartheta (x)=x+O(x/{\log }^{2}x).$$

Theorem 6.12（印刷页 11）给出 ${\prod }_{p\le x}(1-1/p)$ 的双侧估计，蕴含

$$\log \prod _{p\le x}(1-1/p{)}^{-1}=\gamma +\log \log x+O(1/{\log }^{2}x).$$

FIB 理论卷 §233.2 仅使用这两个最终渐近结论，组合经典支撑损失，给出不带权逐剩余类单候选结论的短推导。它不依赖该文的数值阈值来认证一个有限窗口，也不将 $n/\phi (n)$ 的损失直接当成真实增量源 $b_s(d)/d$ 的损失。原文所列定理已读取；本条不声称独立重验其全部计算或提供 Lean 证明。

同一 Robin 来源的有效素数幂修正

同一 v1 原文 Proposition 3.2，印刷页 4，给出无 RH 前提的完整估计

$$0\le \psi (t)-\vartheta (t)<1.00007\sqrt{t}+1.78t^{1/3}(t>0).$$

这已经包括全部高次素数幂，不必另外估计每一层。Theorem 5.2 同页的 $k=0,{\eta }_0=1,x_0=1$ 一行还给出 $\vartheta (t)<2t$，$t\ge 1$。 两条陈述按原文使用；其底层计算和证明没有独立复验，也没有 Lean 核验。

对 Polak 的修正项 $C_{\mathrm{pp}}(A)$，直接使用该文 §3.1、(3.4) 已有的 $C_{\mathrm{pp}}(A)\le {\int }_A^{\infty }(\psi (t)-\vartheta (t))k(t)dt$， 其中 $k(t)=(1+\log t)/(t^2{\log }^{2}t)$。对 $A>1$、$0<a<1$， 一次分部积分给出

$${\int }_A^{\infty }{t}^{a}k(t)dt=\frac{A^{a-1}}{(1-a)\log A}-\frac{a}{1-a}{\int }_A^{\infty }\frac{t^{a-2}}{{\log }^{2}t}dt<\frac{A^{a-1}}{(1-a)\log A}.$$

将既有 Proposition 3.2 代入，得到其消费者所需的纸面应用界

$$\sqrt{A}\log A{C}_{\mathrm{pp}}(A)<2.00014+2.67A^{-1/6}.$$

此界的用途是 Nicolas 包络与同一 GA2 来源的有效核心组合。 它不控制 $\psi (t)-t$ 的有符号尾项，也不主张一个新的素数定理。