bibkey: bugeaud2017sparts
authors: Yann Bugeaud, Jan-Hendrik Evertse, Kálmán Győry
year: 2017
title: "S-parts of values of univariate polynomials, binary forms and decomposable forms at integral points"
doi: null
url: https://arxiv.org/abs/1708.08290
claim: Theorem 2.1(i) bounds the S-part of values of a squarefree univariate polynomial with an ineffective constant; used in the written fixed-index finiteness argument for Erdős 699.
strata_touched: []
license: citation-only
triage: anchor

Erdős 699：四次消去与 S-part 外部依赖

研究关联：issue #9670，PR #9723。 唯一推导正文：docs/develop/theory/ERDOS_699_BINOMIAL_COMMON_PRIME.md，§§16–19。 本条保存来源与精确使用边界，不登记 Lean/Scribe 真值或开放问题解决状态。

1. 有限性所用的已知定理

Yann Bugeaud, Jan-Hendrik Evertse, Kálmán Győry, S-parts of values of univariate polynomials, binary forms and decomposable forms at integral points，arXiv:1708.08290。

• 元数据：https://arxiv.org/abs/1708.08290
• 全文：https://arxiv.org/pdf/1708.08290
• 核对日期：2026-09-24。
• 实际读取并截图核对：印刷页 3 Theorem 2.1(i)，印刷页 13 Proposition 3.1 及 Theorem 2.1 的证明。Introduction 明确区分非有效估计与另一条较弱的有效估计。

若 f in Z[X] 无重根、次数 r>=2，S 是有限非空素数集，则对每个 eta>0，

[f(x)]_S <= C(f,S,eta) * |f(x)|^(1/r+eta),  f(x)!=0.

这里 [m]_S 保留 S 中素数的完整幂。常数非有效，来源是 p-adic Thue–Siegel–Roth；不能用另一条有效估计的常数代替它，也不能将它说成一个已经计算出的搜索截止。

本卷的应用，而非原文结论： 固定 i>=4，取 f_i(X)=prod_(r=0)^(i-1)(X-r)、S_i={p prime:p<i}、eta=1/(12i)。假想反例满足 g_i <= [f_i(n)]_(S_i) <= C_i*n^(13/12)。与自行推导的四次界 n^7<4000*binom(i,4)^6*g_i^6 联立，得到 n<4000^2*(binom(i,4)*C_i)^12，证明固定指标反例有限。常数 C_i 未计算，有限集合未排空。结合本卷先前的大指标定理，只能推出 i!=3 的反例总集有限，不能宣布整题或所有 i>=4 无反例。

2. 相关既有方法与比较

George M. Bergman, On common divisors of multinomial coefficients，arXiv:0806.0607v2。

• 元数据：https://arxiv.org/abs/0806.0607
• 全文：https://arxiv.org/pdf/0806.0607
• 实际核对：§2，印刷页 2–3，Theorem 2 及其后关于更多轨道数量组合消去的讨论。

Bergman 已给出固定 i>=2 的 gcd 平方根量级下界，并提出改进 i>=4 时的高阶组合。这是已有工作。当前卷的具体代数命题是四次整系数表达式 J^2-2I^3 的严格正性和 O(h^6/n^7) 界，以及保留原 gcd 的除阶乘导数传递。它们的证明见理论卷，不依赖把 Bergman 的建议当成一个已证明的更强估计。

3. 核验边界

检查器：tools/scripts/agent/openproblem/erdos699-quartic-cancellation-check.py。 精确整数/有理数和可选 SymPy 只检查代数恒等式及实际参数，不重新证明外部 S-part 定理，不产生未知的 C_i，不进行独立审稿或 Lean 核验。已有外部有限性草稿没有在本轮独立复核，故不作历史优先权主张。