bibkey: codex2026erdos699i3
authors: Independent Codex CLI mathematics seat; caller audit
year: 2026
title: "Erdos 699 i=3 Lucas/Kummer adjacent-core reduction"
doi: null
url: https://www.erdosproblems.com/699
claim: Necessary conditions and bounded exact checks for the i=3 lane; not a solution.
strata_touched: []
license: citation-only
triage: anchor

Erdős 699：i=3 的 Lucas/Kummer 相邻核心约化

关联 issue：#9670。当前写入 PR：#9723。

本条记录的是一份独立数学席的必要条件推导和有限核验，不是 Erdős 699 的完整证明、反例、Lean 定理或 KPI 结果。原始独立报告保存在本机临时路径；其 SHA-256 为 9de452aec61d51260f34446954b49bd714781506660a24eeab67901636d35f0d。

报告证明：假设 i=3 反例，则可写

[ n=Mu,\quad j=tu,\quad M=2^a3^\varepsilon,\quad \varepsilon\in{0,1}, ]

并且 4|M、u 奇、(M,u)=1、v_3(u)\ne1、tu>=4，同时满足

[ R(Mu-1)\mid t(M-t),\qquad R(Mu-2)\mid t(M-t)(M-2t), ]

以及

[ (Mu-1)(Mu-2)\le\sqrt3 M^3, \qquad u<3^{1/4}\sqrt M+2/M. ]

这里 R 去掉全部 2-adic 因子，并在 3-adic 指数恰为 1 时再去掉一个 3。证明的关键是：对 binom(n,3) 的每个奇素因子，反例假设迫使 binom(n,j) 的 Lucas 逐位条件无进位；对 n,n-1,n-2 的低位块分别取模后得到上述整除式。高位逐位条件没有被省略，且两个低位整除式没有被错误地当成充分条件。

有限检查器 tools/scripts/agent/openproblem/erdos699-i3-lucas-reduction-check.py 使用标准库精确整数，覆盖直接检查 n<=500 和 Lucas 约化候选 n<=2,000,000。这些范围之外仍未证明，且无界 M 的候选引理尚未解决。

外部背景来源仍以官方问题页、Erdős–Szekeres 1978 原文和 Ecklund–Eggleton–Erdős–Selfridge 1978 原文为准；本条不作历史优先权或全球文献穷尽声明。

2026-09-24 高进位约化搜索

新增标准库程序 tools/scripts/agent/openproblem/erdos699-highcarry-search.py。它先用 (57) 的精确平方形式限制 u，再把 R(Mu-1) 的完整素数幂分别分配给 t 或 M-t，以 CRT 重构 t；主搜索不遍历 1<=t<M/2。程序对每个满足 tu>=4 的重构值都分解完整的 C(Mu,3)，并以 Kummer 进位数和独立的 Legendre 阶数逐素数交叉核对，再另行检验 (56) 的第二式。q|Mu-1 的两个余数标签和 q|Mu-2 的三个余数标签均被保留。

实际命令：

/usr/bin/time -p python3 tools/scripts/agent/openproblem/erdos699-highcarry-search.py --amax 32 > /tmp/erdos699-highcarry-a32-final.json

程序 SHA-256 为 7d227639191cb2d557c3b8919ba8b1404b01cb3493f4ea120317e7358cb9d6ec。内部计时 38.704 秒；外部读数为 real 38.80 秒、user 32.85 秒、sys 0.15 秒。搜索覆盖 2<=a<=32、epsilon in {0,1} 共 62 行；每行输出由 (57) 精确算出的 u 上界。最大两行为：

全程共有 402255 个界内奇 u，其中 284528 个满足互素与三进赋值条件；检查 3162855 个 R(Mu-1) 素数幂分配后得到 590 个第一低块重构值，其中 528 个满足 tu>=4。程序对这 528 个满足 tu>=4 的重构值全部完成了 C(n,3) 分解及 Kummer/Legendre 交叉核对；其中没有一个同时满足第二低块，故本范围内 (56) 解数和忠实反例数均为 0。实际检查到的最大 n 为 1924862608146432；这是约化参数中的最大值，不是声称连续检查了此前到该数之间的每个 n。

非空控制包括 17130 个五标签模等价断言、91 个小行 CRT 与直接 t 枚举的一致性、八个精确分解样本，以及 gcd(C(10,3),C(10,5))=12。故意删去第二低块的错误谓词会接受 (M,u,t)=(16,1,5)，而正确谓词拒绝。放松见证 (M,u,t)=(57,1,22) 通过全部五类商余数测试，但 C(57,22) 在 p=5,7 的 Kummer 阶数都为 1；其 M=57 不属于允许的光滑形式，因此只是“低位通过而高位失败”的非空诊断，不是反例。

本轮最强的统一不变量仍是五因子素数幂分配：每个保留的 q|Mu-1 恰分配给 t,M-t 之一，每个保留的 q|Mu-2 恰分配给 t,M-2t,M-t 之一，五类两两按素数幂分离且乘积为 R(Mu-1)R(Mu-2)。这是 (56) 的精确分配形态，没有得到强于 (58) 的新统一恒等式或不等式，故没有另立定理候选。

此结果只是有限自审，没有 Lean 证明或独立评审；a>=33 未搜索。第一个仍未证明的陈述是：无界 a 下不存在满足完整 i=3 条件的合法 (M,u,t)。由于完整条件蕴含 (58)，证明“(58) 在全部合法参数上无解”是更强的充分排除目标，目前同样未证明。没有发现忠实反例，Erdős 699 状态不变。