bibkey: zhao2026cfmpincidence
authors: Xinrong Zhao
year: 2026
title: Combinatorial Ricci Flows and Hyperbolic Structures on a Class of Compact 3-Manifolds with Boundary
doi: 10.48550/arXiv.2601.15174
url: https://arxiv.org/html/2601.15174v2
claim: The general valence-nine theorem and cube monotonicity are existing results; the accompanying theory proves explicitly restricted lower-valence incidence criteria without claiming the full CFMP conjecture.
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CFMP geometry and incidence-dependent length barriers

Verified locator

• DOI: 10.48550/arXiv.2601.15174
• URL: https://arxiv.org/html/2601.15174v2

Primary-source scope

1. Francois Costantino, Roberto Frigerio, Bruno Martelli and Carlo Petronio, Triangulations of 3-manifolds, hyperbolic relative handlebodies, and Dehn filling, Commentarii Mathematici Helvetici 82 (2007), 903-934. https://arxiv.org/abs/math/0402339 https://arxiv.org/pdf/math/0402339 The retrieved v2 contains Conjecture 0.8: every ideal triangulation with edge valences at least six is realized by hyperbolic partially truncated tetrahedra. The prescribed triangulation, not just some triangulation of the same manifold, is the object to be realized. The text distinguishes already-proved hyperbolicity of the underlying manifold from this stronger realization claim. Equal-valence regular realizations are already known.

2. Ke Feng, Huabin Ge and Bobo Hua, Combinatorial Ricci flows and the hyperbolization of a class of compact 3-manifolds, Geometry & Topology 26 (2022), 1349-1384, DOI 10.2140/gt.2022.26.1349. https://arxiv.org/abs/2009.03731 https://arxiv.org/pdf/2009.03731 Theorems 1.5, 1.6 and 3.9 together with the co-volume/flow arguments in Sections 4-5 give the relevant inputs. The general threshold is ten. Theorem 1.6 gives convergence from every positive initial vector once a genuine zero-curvature metric exists. Theorem 3.9 gives a larger genuine-metric cube up to arccosh(3). Our smaller arccosh(2) cube is rechecked directly by the displayed cosine inequalities and is not claimed as a new discovery.

3. Xinrong Zhao, the present bibkey, arXiv:2601.15174v2, February 5, 2026. https://arxiv.org/html/2601.15174v2 Theorems 1.1/1.5 and 2.12, Lemmas 2.2 and 3.4, and the opposite-edge/adjacent-face estimates of Sections 4-6 give the relevant inputs. The general threshold is nine. No peer-reviewed publication status is asserted here. Its cube monotonicity already controls the four adjacent variables. The accompanying theory proves that elementary derivative sign explicitly, rather than borrowing the degree-nine theorem for a triangulation containing degree-eight edges.

4. Feng Luo and Tian Yang, Volume and rigidity of hyperbolic polyhedral 3-manifolds, arXiv:1404.5365v2. https://arxiv.org/abs/1404.5365 The tetrahedron length characterization, Schlaefli/co-volume formula and global rigidity are also explicitly stated with original locators in the two flow papers. We do not claim a complete independent audit of every proof in Luo-Yang.

5. Ke Feng, Huabin Ge and Yunpeng Meng, Hyperbolization and geometric decomposition of a class of 3-manifolds, arXiv:2503.07421v1. https://arxiv.org/abs/2503.07421 https://arxiv.org/html/2503.07421v1 Its mixed-boundary result requires proper gluing, ideal-edge valence at least six and hyper-ideal-edge valence at least eleven. It does not prove the pure hyper-ideal valence-eight cases considered here. The primary theorem statements imply the stated comparison boundary.

Exact mathematical delta

The new owner is docs/develop/theory/CFMP_GEOMETRIC_REALIZATION.md. It fixes actual global edge variables and counts local occurrences, allowing self-identifications. For caps b_e in (1,2], the local dihedral cosine bound uses the actual four adjacent cap values and the opposite lower endpoint one. If the resulting angular sum on every upper face is strictly greater than 2pi, a uniformly positive lower face can be chosen. The full length box is proved to lie in the nondegenerate geometric domain. A genuine co-volume minimum in that box is forced into its interior, producing a zero-curvature metric of the prescribed triangulation. This proof does not assume existence as an input or treat an arbitrary degenerate limiting vector as a geometry.

The first explicit application allows degree-eight edges and degrees at least twelve. Caps are 2 and 8/5 in cosh-length. An eight-edge occurrence with at least three high adjacent edges has squared cosine at most 833/1677, strictly below 1/2. A high edge has cosine at most 37/43, strictly below sqrt(3)/2. Thus all required angular sums are strictly inward. A second application lets six of the eight occurrences have four high neighbors and leaves the other two unrestricted. Its exact triple-angle certificate uses cos(3 acos(103/153))=-2862473/3581577 < -7/9. These conditions are sufficient, not equivalent to min valence eight. The proof method is classical convex-variational geometry plus the displayed incidence-dependent estimate. No mathematical first-discovery claim is made without a further priority review.

Relation to the contextual spacetime model

Read CONTEXTUAL_SPACETIME_ARITHMETIC_ML.md, especially Sections 2-4, at dev 9740a07f66b6f1fe7b9fe634c88c1c9d115e22ff. Its common-world condition requires repeated references to the same variable to use one shared value; joint responses are not automatically a Cartesian product of local responses. Here that means one length per global edge, correct opposite/adjacent roles, and incidence sums with multiplicity. Independent box corners are only conservative bounds, not falsely asserted actual global states. This methodological connection supplies no automatic curvature estimate, physical spacetime identification or proof of geometric realization.

Literature and scope boundary

The cited primary sources establish the general valence-ten and valence-nine results, but do not supply a proof or counterexample for all-eight or all-six triangulations. No secondary summary is used as a mathematical source. The source set is not an exhaustive priority review.

The theory volume contains ordinary proofs and source provenance. The unrestricted degree-eight target and original CFMP conjecture remain open. The restricted theorem has no numerical hypothesis left unproved; its additional hypotheses are the explicit incidence rules.

Second increment: exact identification constraints and nonvacuous families

Section 5 retains the actual equality of a local edge with its opposite when both represent the same global edge. The upper-face calculation must then use the SAME cap for both, not independently set the opposite one to its lower endpoint. With caps two for degrees eight/nine and 19/10 for degrees at least ten, realization follows if each degree-eight edge has at least six opposite-identified occurrences, and each degree-nine edge has at least two. The strict angular sums are certified by exact triple/seven-angle polynomial identities. This equality constraint need not survive passage to a covering triangulation, so no such cover-stability claim is made.

Section 6 allows every edge degree at least six, provided each occurrence of an edge below degree twenty has four adjacent edges of degree at least twenty. Caps two and 61/50 give exact cosine bounds 2471/4971<1/2 and 389/411<cos(pi/10), respectively. There is no bound on the dimension of the length space or the tetrahedron count. The length space dimension is the actual number of GLOBAL edges, and the manifolds are three-dimensional.

Section 7 gives two fully specified actual face-pairings, with odd gluing permutations, no reversal of an edge, and closed orientable vertex links: four tetrahedra with edge degrees (8,16) and one genus-three boundary; six tetrahedra with edge degrees (6,6,24) and one genus-four boundary. Their local color conditions are verified. Taking cyclic covers produces unbounded, pairwise nonhomeomorphic families by Euler characteristic. This is a proof of nonvacuity and unbounded scope, not a claim that the four-tetrahedron example was previously unknown: CFMP itself reports experimental checks of all triangulations with at most four tetrahedra. The equal-valence regular construction is also old and explicitly credited.

Section 8 proves a limitation of the independent-opposite-endpoint cap test. At a global minimum cap b, every local cosine lower bound is at least f(b)=(2b^3+b^2+1)/(2b^3+3b^2-1)>=7/9. Therefore the Section 3 certificate cannot succeed on ANY all-eight or all-nine triangulation, even with nonuniform caps in (1,2]. Such constant-valence triangulations are nevertheless geometric by the classical regular-tetrahedron construction. This is a counterexample to a proposed proof mechanism, not to CFMP or to all possible coupled barriers. It justifies keeping true equalities and seeking additional joint constraints instead of tuning the same incomplete cap scheme.

Section 9 uses the exact remaining variational obligation. In a minimum-eight triangulation the assignment 2pi/d(e) is a strict angle structure. Luo-Yang Theorems 1.4 and 6.3 already give a unique maximum-volume angle structure and a positive GENERALIZED length realization. Its only nongeometric tetrahedra have angles (0,0,0,0,pi,pi), with the pi angles opposite. Excluding these flat tetrahedra in the maximum is the missing full-eight existence step; positive angle feasibility or energy monotonicity does not exclude them.

Same-body metric segments for the section 66 prerequisite

D5/S3/Geometry/Hyperideal/LengthGramMetricSegments.same_body_metric_segments keeps the original positive six-length vector, cut body, radial map, frame matrix and injective realization map into HyperbolicThreeSpace. For any witnesses satisfying its exact future-unit-sheet coordinate contract and any two points of that same body, it supplies an isometry from the closed real interval of their hyperbolic distance. Its range is both the image of the original affine segment and the set of all ambient metric-between points. Coincident endpoints and boundary points are included. The frozen body and polytope results are unchanged.

The corresponding Blueprint gives the complete formulas and argument. Library/Geometry/cannonfloydkenyonparry1997hyperbolic.md identifies the classical hyperbolic-geodesic, projective-model and Lorentz-distance inputs; the exact custom same-body theorem is repository-derived, with no novelty claim. This is a local prerequisite to the original section 66 realization, not its completion. The full-source application retains all six strict cosine inequalities. The remaining halfspace, interior, incidence, prescribed-length and angle, rigidity, volume and gluing obligations are not discharged by this segment result.

Finite verification boundary

The derivative numerator identity, seven displayed cosine evaluations, the squared three-high bound, all exact triple/seven-angle inequalities, and the rational no-go factorization have exact finite checks. Numerical radian margins are display-only; the strict signs have rational polynomial certificates. A two-variable floating-point root for the four-tetrahedron example is a diagnostic only; it is not an existence proof or a certified geometric root.

Three face-pairing packets satisfy the finite checks. Two are the stated (8,16) and (6,6,24) examples. The third is a second (8,16) packet with an opposite-pair low edge, checking the Section 5 condition. Exact union-find and an independent graph-component calculation agree on complete face pairing, orientation parity, connectedness, oriented-edge reversal, circular normal links, vertex-link Euler characteristics and all incidence hypotheses. These finite calculations do not prove the unrestricted conjecture.

No tests of finitely many pairings establish the unrestricted conjecture. The mathematical theorems quantify over all actual triangulations satisfying the displayed incidence rules and use the complete analytical proof. Their priority has not been established by an exhaustive literature review.

Third increment: nineteen is sharp for the specified two-cap scheme

Section 10 strengthens the isolated-low-edge result from threshold twenty to nineteen, with exact caps 2 and 153/125. The low cosine is 31193/62443<1/2. The high cosine is 243/257<cos(2pi/19); the proof uses pi<22/7 and a sixth-order Taylor lower bound at 44/133, whose rational margin is 15920790096478/64011128373838485. It has no unproved numerical sign assumption. The previous six-tetrahedron example and all its cyclic covers satisfy the strengthened rule.

The same section proves nineteen is the smallest threshold attainable by that SPECIFIED uniform two-cap, independent-opposite-endpoint, per-occurrence scheme. The scheme permits both low cap b and high cap c to vary in (1,2], with c<=b. The low requirement forces c^2<3(b-1)/2. Differentiating (sqrt(3(b-1)/2)-1)/b^2 proves its maximum occurs at b=2, so the best high cosine is still greater than 47/50>cos(pi/9). Thus threshold eighteen or smaller cannot satisfy the two simultaneous inequalities. This is a limitation of that estimate, not a nonrealizability claim at degree eighteen and not an exclusion of more detailed incidence, positive lower, or nonrectangular barriers.

Exact finite checks cover the two new cosine values, the Taylor margin, the derivative identity for the two-cap extremum, the positive-integral formula for 22/7-pi, and the nineteen-neighbor criterion on the stated packets. These checks supply no mathematical independence or kernel certification.

Standard topology and the original face-pairing boundary interface

The generalized-triangulation and vertex-truncation facts below are existing mathematics, not additional CFMP realization theorems. Primary locators are the Regina Handbook, Chapter 3, validity and vertex links, and truncating vertices. The handbook allows faces of the same tetrahedron to be paired, describes edge reversal as an invalid identification, and identifies vertex truncation with replacement by real boundary components. The engine’s three-dimensional triangulation interface gives the corresponding validity and truncation contracts.

The following coordinate argument makes those standard facts explicit for the actual original face pairing used by CFMP. It preserves occurrences, both ordered ends and cap marking; it supplies the topology interface used in the existing finite examples. It is a reuse argument, not a new theory result or a Lean-certified theorem. References to Sections 1–4 and Proposition 1.1 refer to docs/develop/theory/CFMP_ORIGINAL_LINK_INTERFACE.md; Sections 5–11 below number this note’s topology discussion. A sphere-link vertex is also truncated in the displayed model, creating a sphere cap; identifying this model with a supplied original manifold still requires its actual triangulation realization.

5. 原始截断商与有限闭关系

沿用第 1 节的实际面配对，假设四面体集合 $T$ 有限。取 $\epsilon =1/4$，在每个四面体使用闭截断单形

$$K=\left\{z\in {\mathbb{R}}^4:z_i\ge 0,\sum _i{z}_i=1,z_i\le 3/4\right\}.$$

令 $X={\coprod }_{t\in T}K$。只有在 $z_f=0$ 时，面 $(t,f)$ 的实际配对才生成识别

$$(t,z)\sim \left(u,P_{{\sigma }_{t,f}}z\right),(P_{\sigma }z{)}_i=z_{{\sigma }^{-1}(i)}.$$

记其等价闭包为 $R$，商空间为 $Q=X/R$，商映射为 $q$。所有商均使用这组实际面限制；不同出现和端口保留其原始身份。令

$$U=\{(t,z)\in X:\exists v,z_v=3/4\},B=q(U).$$

命题 5.1（实际截断商的紧性与分离性）。 对任意上述有限面配对，$R$ 是 $X\times X$ 的闭子集，$Q$ 紧且 Hausdorff，$q$ 是闭映射，$U$ 饱和且 $B$ 闭。此结论不要求边不反转。

证明。固定源四面体 $t$，以 $(u,\rho ,Z)$ 为运输状态，其中 $u\in T$、$\rho \in \mathrm{Sym}(4)$、$Z\subseteq I$。初始状态为 $(t,\mathrm{id},\varnothing )$。在当前四面体 $u$ 选择面 $f$，配对至 $(u^{\prime },g)$，更新为

$$(u,\rho ,Z)⟼\left(u^{\prime },{\sigma }_{u,f}\circ \rho ,Z\cup \{{\rho }^{-1}(f)\}\right).$$

状态可达性仅记录原始面路径，不要求其零坐标条件已成立。实际关系的精确表达式是

$$R((t,z),(u,w))⟺\exists \rho ,Z:(u,\rho ,Z)\text{ 可达},\underset{i\in Z}{\bigwedge }{z}_i=0,w=P_{\rho }z.$$

实际识别路径逐步积累拉回源点的零坐标条件，得到正向蕴含。反向沿状态的见证路径行走，累积条件使每一步实际面识别合法。逆面限制本身也是生成识别，故此描述包含对称闭包，初始状态包含反身性。每个源四面体至多有 $|T|\cdot 24\cdot 16$ 个状态。固定标签、排列和零坐标集合时，右端条件定义闭集；有限并仍闭。

空间 $X$ 是有限个紧 Hausdorff 多面体的不交并。闭等价关系在紧 Hausdorff 空间上的商是紧 Hausdorff，且商映射闭：闭集的饱和是闭关系与该闭集乘 $X$ 的交集的紧投影，因此闭。这个闭商结论也可由商映射的紧纤维、适当映射的乘积和闭对角线判据得到。坐标排列保留“某坐标等于 $3/4$”，所以 $U$ 饱和；它是有限个闭 cap 面的并，$B$ 由闭商映射得到闭性。

6. 实际两端口圈与端点运输

固定一个实际全局边 $e$，令 $O_e$ 为其原始局部出现集合。每个出现恰有两个包含该边的面端口。记 $\tau$ 为同一出现内的端口交换，$J$ 为跨实际配对面的端口运输。二者都是端口集合上的无不动点对合；$J$ 的无不动点性来自原始面配对的无不动面条件。

引理 6.1（保留环和重边的有向端口圈）。 两对合生成的实际边分量有两个 $S=\tau \circ J$ 轨道，彼此由 $\tau$ 交换；每个轨道恰好经过 $O_e$ 中每次出现一次。

证明。将 $\tau$ 和 $J$ 看作端口上的两种颜色的完美匹配。一个连通分量是有限交替偶圈；允许两种匹配连接同一对端口。沿圈每次前进两步给出两个奇偶位置轨道，而每个 $\tau$ 配对包含一个奇位置和一个偶位置。实际边关系正是跨 $J$ 并在出现内切换端口生成的连通关系，因此所选分量对应整个 $O_e$。圈长度为 $2|O_e|$，每个两步轨道在每个出现取一个端口。一个出现的情形是两个匹配连接同一对端口，$S$ 有两个单点轨道；两个出现的情形保留两条平行面运输。证明不使用简单图假设。

选择一个轨道，按 $k\in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 编号，其中 $m=|O_e|>0$。将该轨道中的端口称为出端口，其同出现的另一个端口称为入端口。跨第 $k$ 个出端口恰到达第 $k+1$ 个出现的入端口。

此后假设第 1 节的边不反转条件。命题 1.1 给出实际边上的两个有序端类。任意边路径可运输一个所选端点，故该端类到达每次出现；若同一端类在某次出现包含两个端点，就违反边不反转。选择其一 $\eta$，则每次出现 $o$ 有唯一端点 $v_o$ 属于 $\eta$；另一端点记为 $w_o$。实际面运输保留这一选择。即使两个端点具有相同的全局角点标签，也不能将这两个端类合并。

7. 横截面到圆盘的显式映射

在第 $k$ 次出现中，令 $a$ 为出端口遗漏顶点的坐标，$b$ 为入端口遗漏顶点的坐标。取 $\delta >0$，在闭三角形 $a,b\ge 0$、$a+b\le \delta$ 上定义 $r=a+b$，并定义

$$F_k(a,b)=\{\begin{array}{ll}0,& r=0,\\ r\exp \left(2\pi i\frac{k+b/r}{m}\right),& r>0.\end{array}$$

出端口面上 $a=0$，角参数为 $k+1$；配对目标的入端口面上 $b^{\prime }=0$，角参数同为 $k+1$。最后一个出端口与第一个入端口也由指数的周期性一致。

引理 7.1（实际扇商是圆盘）。 将上述 $m$ 个闭三角形按实际相邻端口识别，其商由 $F_k$ 同胚到闭圆盘 ${\overline{D}}_{\delta }\subset \mathbb{C}$。对任意紧区间 $L$，保留第二坐标的同一映射给出实际扇乘区间的商到 ${\overline{D}}_{\delta }\times L$ 的同胚。

证明。$r>0$ 时公式连续；在原点，$|F_k(a,b)|=a+b$ 给出连续性，毋须角参数有极限。相同像先由范数给出相同 $r$，再由指数周期性给出

$$\frac{k+b/r}{m}\equiv \frac{l+b^{\prime }/r}{m}(\mathrm{mod}1).$$

当 $k,l\in \{0,\dots ,m-1\}$ 且两个比值位于 $[0,1]$ 时，这恰好表示同一扇内相同点、相邻端口射线上的配对点，或首尾射线上的配对点。原点则沿连通端口圈全部识别。$m=1$ 时同一三角形的两条射线配对，$m=2$ 时两对相邻射线均须保留；上述纤维描述仍逐项成立。

每个非零圆盘点的方向可选择于一整圈内，再放入这 $m$ 个角区间之一，取 $b=rt$、$a=r(1-t)$ 即得原像。映射因此连续、满射且纤维恰为实际识别类。它从紧商到 Hausdorff 圆盘诱导连续双射，故为同胚。乘紧区间的陈述对整个紧源使用同一个连续映射和纤维论证得到，不预设商与乘积交换。

8. 原始边内部的实际邻域

固定实际边内部一点，选择第 6 节的端类及有向端口圈。令

$$s=\frac{z_{v_o}}{1-r},z_{v_o}=(1-r)s,z_{w_o}=(1-r)(1-s).$$

在中心边 $r=0$ 上，截断条件给出 $1/4<s<3/4$。选取包含该点纵向参数于内部的闭区间 $[A,C]\subset (1/4,3/4)$，取 $\delta =1/16$，并以 $0\le r\le \delta$ 为横截面参数。上述两个端点坐标均大于 $\delta$，另外两个坐标至多为 $\delta$，故在同一原四面体内，两个大坐标唯一恢复该局部边出现。端点坐标严格小于 $3/4$，因此这些 patch 不碰 cap。

实际配对保留 $r,s$；仅两个横向面可能有零坐标，它们恰给出第 7 节的射线配对。由引理 7.1，整个闭 patch 的实际商经 $(F_k,s)$ 同胚到 ${\overline{D}}_{\delta }\times [A,C]$。闭 patch 是饱和的，其商到 $Q$ 的像也是紧到 Hausdorff 的连续单射，故上述同胚确实描述 $Q$ 的该子空间。

限制到 $r<\delta$、$A<s<C$。其完整原像在 $X$ 中相对开：这组严格不等式和两个端点坐标大于 $\delta$ 可在每个原四面体内直接表达。它仍饱和，因为实际面运输保留所选端点和纵向参数。按商拓扑定义，其像是 $Q$ 的开邻域，坐标目标为 $D_{\delta }\times (A,C)$，即实三维空间的开子集。

9. cap 顶点及其余四种局部情形

在原始有序端 $(t,v,w)$ 对应的 cap 顶点处，选择其实际端类，取

$$u=3/4-z_{v_o},z_{v_o}=3/4-u,z_{w_o}=1/4+u-r.$$

令 $0\le u,r\le \delta =1/16$。则

$$11/16\le z_{v_o}\le 3/4,3/16\le z_{w_o}\le 5/16,0\le a,b\le 1/16.$$

两个大坐标再次唯一恢复实际局部边出现，且还区分所选 cap 端点。只有两个横向面能提供识别；它们保留 $u,r$，恰给出实际扇的射线关系。唯一可能的 cap 坐标是 $v_o$，cap 条件等价于 $u=0$。

命题 9.1（实际 cap 顶点的带标记半空间坐标）。 上述闭 patch 商经 $(F_k,u)$ 同胚到 ${\overline{D}}_{\delta }\times [0,\delta ]$。限制到 $r<\delta$、$u<\delta$ 得到 $Q$ 中的开邻域 $V$，其坐标目标为 $D_{\delta }\times [0,\delta )$，且

$$(F,u)(V\cap B)=D_{\delta }\times \{0\}.$$

证明。引理 7.1 给出闭 patch 的紧商同胚，闭 patch 饱和，故它同胚于 $Q$ 中的实际像。较小 patch 的完整原像可写成 $r<\delta$、$u<\delta$，连同已自动满足的两个大坐标严格下界；这些条件在原始 $K$ 中相对开。原始面限制保留这些条件，因此原像饱和，商像开。目标在 $\mathbb{C}\times [0,\infty )$ 中相对开；最后的标记等式直接来自唯一 cap 坐标及 $u=0$。

其余四种情形的坐标也可以直接写出。配对面上的切向坐标一律通过同一个实际 $\sigma$ 运输，法向坐标在两侧取相反符号。

最后一行的完整逆公式为

$$z_v=3/4-u,z_f=h,z_w=(1/4+u-h)t,z_c=(1/4+u-h)(1-t).$$

在配对目标侧取实际运输后的 $v,w,c$，并把 $h$ 的符号取反；合并两侧后，逆公式中的非负重心坐标使用 $|h|$。选择 $t$ 的闭区间 $I$ 严格位于 $(0,1)$，令 $\mu ={\inf }_{t\in I}\min (t,1-t)>0$，再选 $\delta \le 1/16$ 满足 $\delta <(1/4-\delta )\mu$，则整个 patch 上 $z_w,z_c>\delta$。这个半径依赖所选点的切向正坐标余量；不对所有 cap 侧边中心强行使用同一个半径。只有 $f$ 能有零坐标，只有 $v$ 能达到 cap 上界。因此两侧除了 $h=0$ 的原面配对外没有额外识别，且 cap 恰为 $u=0$。

配对面内部同样先选取面内部的紧切向圆盘，再选法向半径，使另外三个坐标均严格大于该半径且小于 cap 上界。两侧紧半盒在 $h=0$ 上由实际运输相接；连续映射的纤维正好是该配对，由紧到 Hausdorff 获得闭盒同胚。取切向圆盘的内部和 $|h|<\delta$，其完整原像相对开且由唯一小面条件给出饱和性，因而得到商中的开邻域。即使两配对面属于同一原四面体，它们的小 patch 也由不同的唯一小坐标区分，互不重叠。cap 侧边取 $t\in \mathrm{int}I$、$|h|<\delta$、$u<\delta$，其饱和开原像给出对应的半空间开邻域。两个无配对的内部情形直接使用仿射或有理逆公式和严格坐标余量，cap 内部同样取切向圆盘的内部及 $u<\delta$。

10. 六种坐标的汇合与实际 cap 链接

定理 10.1（由原始面配对构造的带边界三维拓扑流形）。 有限原始面配对满足边不反转时，$Q$ 是紧三维拓扑流形，边界标记恰为 $B$。具体地，$Q\setminus B$ 的每点具有与实三维开集同胚的开邻域；$B$ 的每点具有与标准闭半空间的相对开集同胚的开邻域，且局部同胚将 $B$ 精确送到高度为零的平面。空 $T$ 给出空流形。

证明。$K$ 的点至多有两个零坐标，否则剩下的一个坐标等于一，违反截断上界；至多有一个 cap 坐标，否则坐标总和大于一。因此“零坐标数为零、一、二”和“有无 cap 坐标”恰好产生六种情形。第 8 节、第 9 节及其表格为它们逐一构造实际商的开邻域。没有 cap 的三种情形给出实三维开集，有 cap 的三种给出闭半空间的相对开集，并都保留高度零标记。命题 5.1 给出 Hausdorff 性和紧性。紧性选出有限个这样的图卡覆盖；每个图卡有可数基，有限并给出 $Q$ 的可数基。故满足拓扑流形的分离性和可数性条件。这些半空间图卡确定的流形边界为 $B$。

令 $L$ 为第 1 节同一原始角点三角形的实际链接商。每个原角点 $(t,v)$ 的三角形写为

$${\Delta }_v=\left\{\lambda :{\lambda }_v=0,{\lambda }_i\ge 0,\sum _i{\lambda }_i=1\right\}.$$

其边 ${\lambda }_f=0$ 按实际 ${\sigma }_{t,f}$ 配对，且只允许 $f\ne v$。

命题 10.2（链接到实际边界 cap 的原代表对应）。 对任意有限原始面配对，映射

$$[t,v,\lambda ]⟼\left[t,\frac{3}{4}{e}_v+\frac{1}{4}\lambda \right]$$

给出 $L\cong B$。在定理 10.1 的边不反转条件下，这是原始链接与 $Q$ 的流形边界的同胚。

证明。cap 点具有唯一坐标等于 $3/4$，所以在识别前可由该坐标恢复 $v$，并将其余坐标乘四恢复 $\lambda$。该映射是有限不交并上到 $U$ 的同胚，且与实际坐标排列交换。对于 $f\ne v$，${\lambda }_f=0$ 等价于目标点的 $z_f=0$；$f=v$ 不可能提供 cap 点的面识别。每一条从 cap 出发的实际识别路径始终留在 cap 中，逆映射因此逐步恢复链接识别路径。诱导映射的纤维精确，得到从紧链接商到 Hausdorff 子空间 $B$ 的连续双射，故为同胚。这里的链接商紧性仅需其源有限紧三角形并的连续商；没有预先假设链接是曲面。

11. 拓扑结论的适用范围

第 5–10 节给出同一原始面配对上的书面拓扑构造，使用有限闭关系、显式扇坐标和紧到 Hausdorff 的同胚判据。环、重边、同一四面体的不同配对面，以及两个端点具有相同全局角点标签的情形都保留原始出现身份。结论不要求可定向性、角结构或双曲度量，也没有文献原创性声明。

同一个原始流形 $N$ 的边界对应仍须连接其原始理想剖分的实际实现。若该实现已给出 $Q\cong N$，可通过边界不变性传递上述标记；若只给出内部或删点空间的同胚，还需 collar 或端部延拓论证。任意内部同胚不能直接宣称延拓到 cap。上述拓扑坐标也不提供共同六边长度或全局双曲能量的物理识别。

12. 实际三槽面映射的四坐标扩展

本节把第 1–10 节使用的四坐标排列直接连接到 RawFacePairing 的实际三槽数据。输入只是原始配对 $p$，不另要求调用者提供 $\sigma$ 或断言其与边槽相容。这里是有限排列及既有等价接口的普通应用，不提出新的通用数学定理或原创性主张。

原始数据的参考源码为 D5/S3/Geometry/Hyperideal/EdgeStarTransitions.lean，修订 2a2c0ee5482b2fe7d2e988a5b39bf76d934372d9，文件 SHA256 为 bebd11bec484fbf269f9089b9dd88196e0aa4034c329297ef36c7175a0fcd976。本节独立使用下面五字段数据及第 12.1 节的有限 incidence 表，不要求该模块已成为可导入的供应者：

facePair : Equiv.Perm (T × Fin 4)
faceMap : T × Fin 4 → Fin 3 ≃ Fin 3
pairInvolutive : facePair * facePair = 1
pairFixedFree : ∀ x, facePair x ≠ x
mapInverse : ∀ x n, faceMap (facePair x) (faceMap x n) = n

边编号依次为 $(01,02,03,23,13,12)$；面编号是省去的顶点 $f$。faceMap x 作用于 faceEdge x.2 的三个边槽，不能未经转换直接当作递增面顶点的排列。

12.1 原始边槽的对顶点坐标

令 ${\nu }_f(n)$ 为面 $f$ 中与边槽 $n$ 对应边相对的顶点。由原始 faceEdge 和 edgeVertices 两张表得到：

每行的三个顶点互不相同且均不等于 $f$。对任何 $v$，原始边槽的端点关系正好是

$$v\in \mathrm{endpoints}(\mathrm{faceEdge}(f,n))⟺\exists r\ne n:{\nu }_f(r)=v.$$

这条有限表关系同时确定端点所属的原始边槽，保留原始四面体、面及槽身份。

12.2 从实际配对唯一得到 $\sigma$

令 ${\chi }_0$ 为三槽恒等排列，${\chi }_f=(02)$ 对所有 $f\ne 0$。用 Equiv.finSuccEquiv' f 把省去的顶点送到 none，并按递增顺序把其余顶点送到 some n；再用 ${\chi }_f$ 修正为上述原始边槽顺序。记此复合为

$$F_f:\mathrm{Fin}4\simeq \mathrm{Option}(\mathrm{Fin}3),F_f=\mathrm{optionCongr}({\chi }_f)\circ {\mathrm{finSuccEquiv}}^{\prime }(f).$$

因此 $F_f(f)=\mathrm{none}$ 且 ${\nu }_f(n)=F_f^{-1}(\mathrm{some}n)$。若 $x=(t,f)$、$p.\mathrm{facePair}(x)=(t^{\prime },g)$、$m_x=p.\mathrm{faceMap}(x)$，定义

$${\sigma }_x=F_g^{-1}\circ \mathrm{optionCongr}(m_x)\circ F_f.$$

相应的局部 Lean 定义为：

let chi : Fin 4 → Equiv.Perm (Fin 3) :=
  fun f => if f = 0 then 1 else Equiv.swap 0 2
let frame : Fin 4 → (Fin 4 ≃ Option (Fin 3)) :=
  fun f => (Equiv.finSuccEquiv' f).trans (Equiv.optionCongr (chi f))
let vertex : Fin 4 → Fin 3 → Fin 4 :=
  fun f n => (frame f).symm (some n)
let sigma : T × Fin 4 → Equiv.Perm (Fin 4) :=
  fun x => (frame x.2).trans
    ((Equiv.optionCongr (p.faceMap x)).trans
      (frame (p.facePair x).2).symm)

既有等价的正反复合恒等式立即给出

$${\sigma }_x(f)=g,{\sigma }_x({\nu }_f(n))={\nu }_g(m_x(n)).$$

pairInvolutive 给出 $p.\mathrm{facePair}(p.\mathrm{facePair}(x))=x$。对 mapInverse 在 $m_x^{-1}(n)$ 处代入，得到

$$m_{p.\mathrm{facePair}(x)}=m_x^{-1}.$$

代回定义即得 ${\sigma }_{p.\mathrm{facePair}(x)}={\sigma }_x^{-1}$。此处不需要 pairFixedFree，也不需要 $T$ 有限或非空。

结合第 12.1 节的端点关系和 $m_x$ 的单射性，得到实际边槽的双向相容性：

$$v\in \mathrm{endpoints}(\mathrm{faceEdge}(f,n))⟺{\sigma }_x(v)\in \mathrm{endpoints}(\mathrm{faceEdge}(g,m_x(n))).$$

因此端点的运输与 RawFacePairing.edgeStep 使用的是同一实际边槽配对。

12.3 递增顶点索引不能直接代替原始槽索引

取两个不同原始四面体，将其省去顶点 1 的面配对，且 faceMap 交换边槽 0 和 1。这两个槽的原始边分别是 $02$ 和 $03$。

若错误地把面顶点的递增排列 $(0,2,3)$ 当作边槽排列，交换槽 0 和 1 会交换顶点 0 与 2，因而把边 $02$ 送回边 $02$，没有送到规定的目标边 $03$。正确的对顶点次序是 $(3,2,0)$；同一槽交换应交换顶点 3 与 2、固定顶点 0，恰把 $02$ 送到 $03$。这是原始配对上的具体索引反例，并非来自全局边标签的退化。

12.4 在实际截断载体上的运输

使用第 1 节的同一截断载体

$$K=\left\{z:\mathrm{Fin}4\to \mathbb{R}\left|\right(\forall i,0\le z_i\le 3/4)\wedge \sum _i{z}_i=1\right\}.$$

由实际配对导出的局部移动为

$$P_x(z{)}_i=z_{{\sigma }_x^{-1}(i)}.$$

每个目标坐标的非负性和截断上界由相应源坐标继承。既有 Equiv.sum_comp 用于 ${\sigma }_x^{-1}$ 给出

$$\sum _i{P}_x(z{)}_i=\sum _i{z}_i=1,$$

所以 $P_x$ 确实把 $K$ 送入 $K$。由逆相容性还有 $P_{p.\mathrm{facePair}(x)}\circ P_x={\mathrm{id}}_K$。对任何原始坐标 $v$，

$$P_x(z{)}_{{\sigma }_x(v)}=z_v.$$

特别地，省去顶点 $f$ 的原始面被送到配对面 $g$，且有精确等式及零坐标等价

$$P_x(z{)}_g=z_f,z_f=0⟺P_x(z{)}_g=0.$$

cap 条件同样保留：

$$(\exists v,z_v=3/4)⟺(\exists i,P_x(z{)}_i=3/4).$$

正向见证为 $i={\sigma }_x(v)$，反向见证为 $v={\sigma }_x^{-1}(i)$。这给出原始截断坐标上的运输，而不是任意外加的 cap 标记。第 8–10 节的配对面、原始边和 cap 公式须使用这一导出的 ${\sigma }_x$。

12.5 来源、复用与核验范围

上述扩展只使用原始两张有限表、RawFacePairing 的逆相容字段和既有 Equiv 接口。Mathlib 修订为 db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d；直接复用 Mathlib/Logic/Equiv/Fin/Basic.lean 中的 Equiv.finSuccEquiv'，Mathlib/Logic/Equiv/Option.lean 中的 Equiv.optionCongr，以及 Mathlib/Algebra/BigOperators/Group/Finset/Defs.lean 中由 Equiv.prod_comp 生成的 Equiv.sum_comp。其加法接口是

Equiv.sum_comp (e : ι ≃ κ) (g : κ → M) :
  (∑ i, g (e i)) = ∑ i, g i

其中两端索引类型有限，$M$ 为加法交换幺半群。本节给出这些既有等价与有限重排的参数对应。

本节给出书面坐标对应，尚未提供其经 Lean kernel 核验的应用。实际有序端点关系、端点不反转条件、商拓扑以及边和 cap 图卡仍需连接到原始配对上的证明项。有限坐标适配不替代这些拓扑义务，也不提供原始流形 $N$ 的端部延拓。

13. 实际识别纤维与有界面路径

本节沿用第 5 节的有限 $T$、截断载体 $K$ 和实际面限制，并使用第 12 节从原始三槽数据导出的 $\sigma$。记 $n=|T|$。下面的界不要求可定向性、角结构或双曲度量；除最后的改进外，也不要求边不反转。

13.1 零坐标数区分识别纤维

坐标排列保持零坐标数。截断条件保证 $K$ 中的点至多有两个零坐标：若至少三个坐标为零，则剩余坐标为一，与 $z_i\le 3/4$ 矛盾。因此实际关系的每个等价类始终处于同一个零坐标层。

命题 13.1（实际纤维的有限上界）。 对任意 $x=(t,z)\in X$，其实际识别类 $[x{]}_R=q^{-1}(q(x))$ 满足：

在边不反转条件下，最后一行也改进为 $6n$。

证明。没有零坐标时没有合法的面移动，等价类是单点。只有一个零坐标 $f$ 时，唯一合法移动是跨面 $(t,f)$ 的配对；目标的唯一零坐标是配对面 $g$，所以目标的唯一合法移动就是逆配对。第 12.2 节的逆相容性使它回到原点。这给出至多两点，且允许配对面属于同一四面体。

有两个零坐标时，其余两个坐标为正，之和为一。实际移动只排列原来的坐标值，不改变它们。在每个目标四面体中，两个非零坐标相等时只需选择它们所在的无序顶点对，共 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)=6$ 种；不等时还须选择两种赋值方向，共 $12$ 种。因此所有可达点分别落在至多 $6n$ 或 $12n$ 个实际点中。这里不把不同四面体的出现合并，也不假设所有候选点都可达。

若边不反转，固定源边的一个端点并沿实际面路径运输。同一个目标局部边出现上的端点像是唯一的：两条路径若把它送到相反端点，先走第一条路径，再逆走第二条路径，就产生返回源出现却交换两个端点的实际路径，违反不反转条件。故每个目标局部边出现至多产生一个可达坐标点；全部出现至多 $6n$ 个。非零坐标相等时，该计数改进已经由坐标值本身给出，不需要不反转。

13.2 每个识别都有短的实际见证路径

原始面限制在实际载体上是可逆的，逆移动仍是原始面限制。因此 $R$ 的任意识别都有有限合法面路径见证，包括长度零的路径。

命题 13.2（有界实际路径）。 若 $xRy$，则存在从 $x$ 到 $y$ 的合法原始面路径，其长度不超过 $|[x{]}_R|-1$。从而任意实际识别都有长度至多 $12n-1$ 的面路径；在边不反转条件下，统一界可改为 $6n-1$。这两个统一界仅在给定 $x\in X$ 时使用，此时 $n\ge 1$。没有零坐标时可取长度零，只有一个零坐标时可取长度至多一。

证明。取一条长度最短的合法面路径。若其顶点序列重复同一个实际点，可删除两次到达该点之间的整段路径。删除前后接合处是完全相同的带四面体标签的坐标点，故保留的后半段每个原始零坐标条件仍成立，终点也不变。这与最短性矛盾。因此最短路径有 $L+1$ 个互异实际点，全部位于 $[x{]}_R$ 中，给出 $L+1\le |[x{]}_R|$。结合命题 13.1 即得各界。

删环保留实际面移动本身。它不依赖简单图，不把平行面移动合并，也不把两个不同出现因全局标签相同而视作重复点。

13.3 以有限面字重新表达闭关系

命题 13.2 给出第 5 节有限状态证明之外的直接闭性表达。取 $N=12n-1$。对每个源四面体 $t$ 和每个长度 $L\le N$ 的面字 $(f_0,\dots ,f_{L-1})$，只按原始配对计算标签序列 $t_j$ 及累积排列 ${\rho }_j$：

$$t_0=t,{\rho }_0=\mathrm{id},(t_{j+1},g_j)=p.\mathrm{facePair}(t_j,f_j),{\rho }_{j+1}={\sigma }_{t_j,f_j}\circ {\rho }_j.$$

该面字在源点 $z$ 上合法，当且仅当

$$z_{{\rho }_j^{-1}(f_j)}=0(0\le j<L).$$

故它的实际识别图为

$${\Gamma }_{t,(f_j)}=\left\{((t,z),(t_L,P_{{\rho }_L}z)):z\in K,z_{{\rho }_j^{-1}(f_j)}=0(j<L)\right\}.$$

源条件是 $K$ 中有限个闭坐标超平面的交。坐标排列连续，因而 ${\Gamma }_{t,(f_j)}$ 是该紧闭源的连续像，在 Hausdorff 空间 $X\times X$ 中闭。标签和面字有限，命题 13.2 恰给出

$$R=\bigcup _{t\in T}\bigcup _{L=0}^N\bigcup _{(f_j)\in (\mathrm{Fin}4{)}^L}{\Gamma }_{t,(f_j)}.$$

于是 $R$ 是有限闭集的并。空 $T$ 时 $X$ 与 $R$ 都为空，闭性直接成立，不使用负的路径长度上界。在边不反转条件下，可用 $N=6n-1$ 得到同样的表达。

该表达将每一步原始零坐标条件拉回同一个源点，并保留累积排列及目标四面体。只检查最终排列而遗漏中间零坐标条件，不能判定一条面字是否合法。第 5 节的 $(u,\rho ,Z)$ 可达状态表达与这里的有界实际面字表达描述同一个关系；后者给出路径长度界，前者通过至多 $24n\cdot 16$ 个有限状态压缩面字的枚举。

这些是原始配对上的书面有限组合与拓扑论证，尚未给出经 Lean kernel 核验的实际应用。纤维有限或面字有界本身不提供第 8–10 节的局部图卡、原始流形 $N$ 的实现或端部延拓。

14. 有限运输群与闭门条件的统一商定理

第 5 节的有限状态证明可推广到不必紧的载体。关键条件是运输排列来自同一个有限群，且每一个原始识别只在闭的源条件上生效。下面明确保留生成关系的等价闭包，并由它推出统一条件；统一条件不作为调用者的额外假设。

14.1 对象与统一条件

令 $T$、$J$ 为有限集合，$T$ 带离散拓扑；令 $Y$ 为 Hausdorff 空间，有限群 $\Gamma$ 通过同胚 $P_g:Y\to Y$ 作用，满足

$$P_1=\mathrm{id},P_h{P}_g=P_{hg}.$$

每个 $j\in J$ 指定源标签 $s_j$、目标标签 $t_j$、运输元素 $g_j\in \Gamma$ 和闭集 $D_j\subseteq Y$。在 $X=T\times Y$ 上，以

$$(s_j,y)⟶(t_j,P_{g_j}y),y\in D_j$$

为实际生成识别，令 $R$ 为这组识别的等价闭包，$Q=X/R$，$q:X\to Q$ 为实际商映射。不要求生成识别本身对称，也不要求各个 $D_j$ 在群作用下不变。

对 $Z\subseteq \Gamma \times J$，定义闭的源条件集

$$A_Z=\bigcap _{(h,j)\in Z}{P}_h^{-1}(D_j),A_{\varnothing }=Y.$$

定义统一运输断言

$$G(t,u,g,Z)⟺\forall y\in A_Z:R((t,y),(u,P_{g}y)).$$

命题 14.1（实际识别的有限统一条件）。 对任意 $t,u\in T$、$y,z\in Y$，

$$R((t,y),(u,z))⟺\exists g\in \Gamma ,Z\subseteq \Gamma \times J:G(t,u,g,Z),y\in A_Z,z=P_{g}y.$$

证明。对实际生成关系的等价闭包归纳。生成识别 $j$ 取 $g=g_j$、$Z=\{(1,j)\}$；反身识别取 $g=1$、$Z=\varnothing$。

若正向见证为 $g,Z$，反向取 $g^{-1}$ 和

$$Z^{-}=\{(h{g}^{-1},j):(h,j)\in Z\}.$$

对每个 $z\in A_{Z^{-}}$，有 $P_{g^{-1}}z\in A_Z$；在该点使用原统一断言，再用 $R$ 的对称性。这给出对所有反向源点有效的同一个见证。

若前后两段见证为 $g,Z$ 和 $k,W$，复合取 $kg$ 和

$$Z{\star }_{g}W=Z\cup \{(hg,j):(h,j)\in W\}.$$

其条件集精确满足

$$A_{Z{\star }_{g}W}=A_Z\cap P_g^{-1}(A_W).$$

因此同一源点 $y$ 与中间点 $P_{g}y$ 同时满足两段的条件，两个统一断言由传递性组合。实际源点也满足这个并集条件。反向蕴含直接将 $G(t,u,g,Z)$ 应用于实际 $y$。整个归纳保留原始标签和实际运输，且不要求为不同源点重新选择 $g,Z$。

14.2 闭商、有限纤维与分离性

命题 14.2（无需载体紧性的闭商）。 在上述条件下，$R$ 是 $X\times X$ 的闭集，$q$ 是连续闭商映射，所有纤维有限且满足

$$|q^{-1}(q(t,y))|\le |T||\Gamma |.$$

此外，$q$ 为 proper map，$Q$ 为 Hausdorff 空间。若 $Y$ 紧，则 $Q$ 也紧。

证明。对每个 $t,u,g,Z$，令

$$E_{t,u,g,Z}=\{((t,y),(u,P_{g}y)):y\in A_Z\}$$

当 $G(t,u,g,Z)$ 不成立时，将该集合取为空。$A_Z$ 闭，$P_g$ 连续且 $Y$ Hausdorff，所以每个 $E$ 是闭的受限图；离散标签条件也闭。命题 14.1 把 $R$ 表达为这些集合的有限并。全部索引数至多

$$|T{|}^2|\Gamma |2^{|\Gamma ||J|}.$$

纤维中的每个点都形如 $(u,P_{g}y)$，因此纤维基数有上述上界；不同 $u,g$ 可以给出相同点，不要求达到该界。

为证明闭商，取闭集 $C\subseteq X$，令 $C_t=\{y:(t,y)\in C\}$，它是 $Y$ 的闭集。$C$ 的饱和在目标标签 $u$ 上精确等于

$$\bigcup _{t,g,Z:G(t,u,g,Z)}{P}_g(C_t\cap A_Z).$$

每一项是闭集在同胚下的像，故闭；索引有限，所以饱和闭。实际商拓扑给出 $q(C)$ 闭，因此 $q$ 是闭映射。此步没有把非紧空间中的一般闭集投影当作闭集。

有限纤维是紧集。连续闭映射具有紧纤维，故 $q$ proper；$q\times q$ 也 proper。它满射且闭，因此为商映射。目标对角线的原像正是已证闭的 $R$，商映射反映闭性，所以 $Q$ 的对角线闭，$Q$ Hausdorff。若 $Y$ 紧，有限离散 $T$ 使 $X$ 紧，$Q$ 由连续满射得到紧性。

14.3 原始截断商的参数对应与边界

第 5 节取 $Y=K$、$\Gamma =\mathrm{Sym}(4)$、$J=T\times \mathrm{Fin}4$。生成识别 $j=(t,f)$ 的源标签为 $t$，目标标签为 $(p.\mathrm{facePair}(t,f)).1$，群元素为第 12 节从原始三槽面映射导出的 ${\sigma }_{t,f}$，闭条件为

$$D_{(t,f)}=\{z\in K:z_f=0\}.$$

对于 $(h,(t,f))$，拉回条件等价于 $z_{h^{-1}(f)}=0$。因此所有 $A_Z$ 都可压缩成四个坐标中的一个零集合；命题 14.1 在此恰恢复第 5 节的有限零条件运输。一般纤维界为 $24|T|$，第 13 节使用实际零坐标层和边不反转进一步给出 $12|T|$ 或 $6|T|$ 的界。

同一群运输若保持某个闭集合 $U\subseteq X$ 的标记，逐生成识别检查标记不变即可推出 $U$ 饱和，继而 $q^{-1}(q(U))=U$ 且 $q(U)$ 闭。原始 cap 的标记是“存在坐标等于 $3/4$”，它由坐标排列保持。不变标记须在实际源和目标标签之间检查，不能只检查各标签内的集合相同。

本节给出统一条件、闭饱和及商分离性的书面证明，未提供经 Lean kernel 核验的形式化，也不申报外部开放问题结算或文献原创性。标准 proper-map 判据、乘积定理、商拓扑与闭对角线判据直接复用钉版 Mathlib 修订 db584cd6d46c92f209a44c0f1c829460d327499d 的 Mathlib/Topology/Maps/Proper/Basic.lean、Mathlib/Topology/Constructions.lean 和 Mathlib/Topology/Separation/Hausdorff.lean。本节不构造原始商的局部图卡，不替代原始端点不反转、六层局部图卡及同一原始流形 $N$ 的端部延拓义务。

15. 与实际面粘合相容的几何块同胚

本节处理共同真长度已经取得后的拓扑接口。设 $p$ 是固定的有限原始面配对，$K$、$Q$、$q$ 和 $B$ 仍取第 5 节的实际截断载体、生成商和 cap 标记。每个标签 $t$ 对应一个紧、非退化、全超理想四面体的极面截断块 $P_t\subset {\mathbb{H}}^3$，保留原来的四个六边形侧面、四个三角形截断面、十二个顶点和十八条边。这里需要各块确有同一完整面格，不能用平坦块或仅有部分面的集合替代。

对每个原始面配对 $(t,f)\leftrightarrow (u,g)$，假设两个几何六边形之间有同胚的双曲等距映射 $I_{t,f}$，它按实际 ${\sigma }_{t,f}$ 对应全部顶点和边，且逆向使用 $I_{u,g}=I_{t,f}^{-1}$。这项输入只给定被配对的侧面映射；没有假设整个块的相容同胚。令 $Q_{\mathrm{geom}}$ 为这些实际侧面等距映射所生成的等价商，令 $B_{\mathrm{geom}}$ 为全部截断三角形在该商中的像。

命题 15.1（保留完整面格的相容实现）。 可以构造各个 $h_t:K\to P_t$ 的同胚，逐面、逐边、逐顶点保留上述对应，并同时满足

$$h_u(P_{{\sigma }_{t,f}}z)=I_{t,f}(h_t(z))(z_f=0).$$

它们因此诱导带标记同胚

$$\overline{h}:(Q,B)⟶(Q_{\mathrm{geom}},B_{\mathrm{geom}}),\overline{h}(q(t,z))=[t,h_t(z)].$$

自粘合、重边和同一个全局边的多个局部出现都使用原始面映射；构造不另加全局边标签，不要求块间存在一个全局等距映射，也不要求角和为 $2\pi$。

15.1 双曲面格的等距自然中心

使用 Lorentz 内积 $L$ 和未来单位双曲面模型

$${\mathbb{H}}^3=\{X:L(X,X)=-1,X_0>0\}.$$

对于一个紧凸双曲多边形或多面体的全部顶点 $X_1,\dots ,X_n$，定义

$$S=\sum _{j=1}^n{X}_j,c=\frac{S}{\sqrt{-L(S,S)}}.$$

未来单位向量满足 $-L(X_i,X_j)=\cosh d(X_i,X_j)\ge 1$，因此

$$-L(S,S)\ge n^2>0,S_0>0.$$

归一化有定义，且 $c\in {\mathbb{H}}^3$。在 Klein 坐标 $x_j=X_{j,\mathrm{sp}}/X_{j,0}$ 中，$c$ 的投影为

$$\frac{{\sum }_j{X}_{j,0}{x}_j}{{\sum }_j{X}_{j,0}}.$$

所有权重严格正。每个支撑面上的顶点满足同一个线性等式，其余顶点满足严格内侧不等式；故这个中心位于该多边形或多面体的相对内部。

侧面等距映射保留这个中心。具体地，六边形所在的全测地平面对应一个三维、签名 $(2,1)$ 的 Lorentz 子空间。选三个不在同一条双曲直线上的顶点；它们构成该子空间的线性基。等距映射保留这三个基向量的 Lorentz Gram 矩阵，因而它们的像定义一个 Lorentz 线性等距映射。其余顶点由与三个基向量的内积唯一确定；所以该线性映射也把它们送到原等距映射规定的像。对于任意侧面点 $Y$，距离保留给出它和三个基点的 Lorentz 内积；在线性等距延拓与原侧面等距映射下，这三个内积相同。目标子空间非退化且三个像构成基，故两个像相等。因此该线性延拓在整个侧面上等于 $I_{t,f}$，包括中心。它保留未来分支、求和和上述正归一化，因而把源侧面中心送到目标侧面中心。中心的定义不依赖某个指定顶点或边。

对 $A,C\in {\mathbb{H}}^3$，记 $G(A,C,s)$ 为从 $A$ 到 $C$ 的双曲测地段上、距离比例为 $s\in [0,1]$ 的点。当 $D=d(A,C)>0$ 时，

$$G(A,C,s)=\frac{\sinh ((1-s)D)}{\sinh D}A+\frac{\sinh (sD)}{\sinh D}C;$$

当 $A=C$ 时取 $G(A,A,s)=A$。这给出连续的插值；在 $D\downarrow 0$ 时两个系数分别趋于 $1-s,s$。等距映射与 $G$ 交换。Klein 投影把该测地段送到相同端点的直线段；当端点不同，投影参数随 $s$ 严格递增。

15.2 先共同边，再整个边界，最后块内部

参考块 $K$ 的每条边按其两个端点作仿射参数 $s\in [0,1]$；把它送到对应几何边的 $G(A,C,s)$。把端点次序颠倒时，两边都把 $s$ 改成 $1-s$，所以这项定义与无向边的选择无关。原始坐标排列是仿射映射，保留这个规范化参数；几何侧面等距映射保留弧长比例。因此所有配对在共同边上相容。

对参考块的每个六边形或三角形面 $F$，取其全部仿射顶点的平均 $c_F$，它位于 $F$ 的相对内部。参考面的每个非中心点唯一写成

$$x=(1-s)c_F+sb,0<s\le 1,b\in \partial F.$$

在对应几何面 $F_t$ 中取第 15.1 节的中心 $c_{F_t}$，定义

$$h_F(c_F)=c_{F_t},h_F((1-s)c_F+sb)=G(c_{F_t},h_{\partial F}(b),s).$$

这里 $h_{\partial F}$ 已由共同边上的定义给出。凸性使每条从中心出发的射线恰有一个边界终点。Klein 模型中的直线段对应以及参数的严格单调性，证明 $h_F$ 是连续双射；源面紧、目标 Hausdorff，所以它是同胚。中心处的连续性由边界紧性和测地段插值给出：$s\downarrow 0$ 时距离不超过 $s$ 乘以中心到边界的最大距离。

各面同胚在共同边上使用完全相同的 $h_{\partial F}$，且把面相对内部送到对应面的相对内部；不同面的像只在对应共同边或顶点相交。因此有限闭面上的拼接是整个块边界的连续双射，紧到 Hausdorff 的判据使其成为同胚。对于被配对的两个参考六边形，$P_{\sigma }$ 保留全部顶点的平均及仿射射线参数；$I_{t,f}$ 保留全部几何顶点的 Lorentz 中心、共同边映射和测地段插值。逐点代入上述公式，得到两个整个六边形的相容性，而非仅有顶点或边的相容性。

最后，参考块取 $c_K=(1/4,1/4,1/4,1/4)$；几何块取其全部十二个顶点的 Lorentz 中心 $c_t$。每个非中心参考点唯一写成 $(1-s)c_K+sb$，其中 $b\in \partial K$、$0<s\le 1$。以

$$h_t(c_K)=c_t,h_t((1-s)c_K+sb)=G(c_t,h_{\partial K}(b),s)$$

延拓。紧凸块的相同射线论证证明这是同胚，且在全部边界面上恰恢复先前的映射。块中心的选取不需要在不同块之间相容，因为所有识别都发生在边界侧面。

15.3 实际生成商与原始流形的对应

设 $h(t,z)=(t,h_t(z))$。这是有限带标签不交并之间的同胚。已证的整个面等式把每个原始面生成识别送到一个实际几何生成识别，逆同胚给出反方向。对生成、反身、对称和传递分别应用这两项对应，得到两个完整等价闭包的等价性；传递中的每个中间点都使用同一个 $h$。商拓扑的通用性质因而给出 $\overline{h}$ 及连续逆映射。它逐块把四个 cap 面送到四个几何截断面，所以精确保留 $B$ 和 $B_{\mathrm{geom}}$。这里商同胚直接复用完整关系相容的商同胚定理，不以待证商的 Hausdorff 性为额外前提。

推论 15.2（共同真长度的拓扑实现）。 对一个已固定实际理想剖分的紧流形 $N$，解开该剖分的原始截断实现 $r:Q\cong N$，并保留 $r(B)=\partial N$。若每个实际块都真正、非退化，而且被配对六边形的三条交替边有相同长度，则上述几何粘合商与同一个 $N$ 带边界同胚。

证明。对于右角六边形，按边界循环把三条交替边记为 $a_0,a_1,a_2>0$，把连接 $a_i$ 和 $a_{i+1}$ 的边记为 $b_i$，下标按三取模。标准右角六边形余弦律给出

$$\cosh b_i=\frac{\cosh a_{i+2}+\cosh a_i\cosh a_{i+1}}{\sinh a_i\sinh a_{i+1}}.$$

此式在实际超理想侧面上是 Feng–Ge–Hua, arXiv:2009.03731v2, 第 2.1 节 Lemma 2.3、式 (2.2)，参数对应为 $a_i,a_{i+1},a_{i+2}=l_{ij},l_{ik},l_{jk}$，$b_i=x_{jk}^i$。因 $b_i>0$，三条交替边确定其余三条长度。两个六边形的全部六条对应边因此等长；将第一条有向边对齐以后，凸性选择的同侧直角转向及逐段长度唯一确定全部后续边，所以得到保留全部顶点对应的等距映射。反向循环用反射后同样成立。共同全局长度在全部出现上的同一拉回给出这些相等长度；逆配对取等距逆映射。命题 15.1 给出 $\overline{h}$，再取 $r\circ {\overline{h}}^{-1}$。这里 $r$ 是固定理想剖分的实际截断实现，不从裸 $p$ 中制造；若原形式输入只提供内部同胚，仍须单独取得其带标记截断实现或端部延拓。

本节的构造只结算同一完整面格、侧面相容和带标记拓扑实现。它不证明角和为 $2\pi$，不证明粘合度量在边或边界顶点处光滑，也不证明测地完备性或流的收敛。角和、法向链接以及截断面正交性承担相应的度量粘合义务。平坦块不满足本节的非退化完整面格前提。

右角六边形的余弦律使用标准双曲三角学；前述 Zhao 引言中的实际块定义及第 2.1 节的极面截断构造提供六边形全直角以及侧面与截断面正交的对应。Lorentz 归一化中心及逐面再逐块的延拓在这里给出显式书面构造；不申报文献原创性，也未给出经 Lean kernel 核验的应用。仅把商同胚通用定理应用于已经相容的块同胚属于复用；实际需要检查的是这些块同胚的构造和整个面等式。

16. 与原始带标记实现相容的光滑双曲度量拼接

本节在第 15 节的相容几何块实现之后处理度量接口。仍使用同一个有限原始面配对 $p$、截断商 $(Q,B)$、实际侧面等距映射 $I_{t,f}$ 和几何商 $(Q_{\mathrm{geom}},B_{\mathrm{geom}})$。假设每个 $P_t$ 都是紧、凸、真正非退化的完全截断双曲四面体，具有第 15 节的完整面格；截断三角形与相邻侧六边形正交。所有侧面配对保留原始顶点及边的对应，并在反向使用等距逆映射。另假设第 6 节的实际边不反转条件，以及已给定的带标记截断实现

$$r:(Q,B)\stackrel{\cong }{\to }(N,\partial N).$$

对每个实际全局旧边 $e$，将每个局部旧边出现 $o\in O_e$ 的内二面角记为 ${\alpha }_o$，要求

$$0<{\alpha }_o<\pi ,\sum _{o\in O_e}{\alpha }_o=2\pi .$$

这里的求和保留全部出现，包括同一四面体中属于同一全局边的不同局部边；环、自粘合和重边均沿原面端口运输处理。该条件不由同胚或共同边长自动给出。

命题 16.1（实际紧截断块的条件性光滑拼接）。 在上述条件下，$Q_{\mathrm{geom}}$ 上存在与实际商拓扑相容的实解析双曲流形带边界结构及曲率 $-1$ 的 Riemannian 度量 $g$。每个块的包含在其相对内部保持原双曲度量，$B_{\mathrm{geom}}$ 恰为流形边界且全测地。由

$$j=\overline{h}\circ r^{-1}:N⟶Q_{\mathrm{geom}}$$

运输图卡及度量，可在同一个带标记 $N$ 上得到这样的结构。各连通分量的 Riemannian 长度距离等于实际块拼接的路径距离，并且完备；沿全测地边界得到的双倍空间是紧、无边界且测地完备的双曲流形。

16.1 侧面延拓与实际边的有序端点

一个侧六边形的等距映射唯一延拓为其支撑双曲平面的等距映射。第 15.1 节的 Lorentz 基论证给出该延拓：三个不共线点的 Gram 矩阵确定平面上的线性等距映射。平面的 Lorentz 正交补是一维类空直线，选择该方向的两个符号得到恰好两个环境 ${\mathbb{H}}^3$ 等距延拓。局部展开选取把两个相邻块放在公共侧面两侧的那个延拓。仅有面上的相等不能区分这两个延拓。

第 6 节的端口圈给每个 $e$ 一个循环出现序列 $o_0,\dots ,o_{m-1}$，每次出现恰出现一次。选择两个实际端类中的一个为起端；边不反转保证该端类在每个出现中恰有一个端点。实际侧面映射把起端送到起端、终端送到终端，且保留边长。因此所有出现有同一 ${\ell }_e>0$，并共享从起端量起的有向弧长参数 $t\in [0,{\ell }_e]$。有限区间上保持两个有序端点的等距映射逐点保持 $t$；它没有轴向平移自由。即使两个端点具有相同的原始角点标签，也仍使用这两个不同的实际端类。

16.2 同时展开整个有限旧边的 Fermi collar

将一个有向旧边轴放置为未来单位双曲面上的

$$\gamma (t)=(\cosh t,\sinh t,0,0).$$

轴周围的 Fermi 坐标为

$$F(t,\rho ,\theta )=(\cosh \rho \cosh t,\cosh \rho \sinh t,\sinh \rho \cos \theta ,\sinh \rho \sin \theta ).$$

在 $\rho =0$ 时合并全部角坐标。对 Lorentz 形式 $-x_0^2+x_1^2+x_2^2+x_3^2$ 直接微分得到

$$g_{{\mathbb{H}}^3}=d{\rho }^2+{\cosh }^2\rho d{t}^2+{\sinh }^2\rho d{\theta }^2.$$

每次旧边出现的两个相邻侧面支撑平面包含该轴，故为两条常角平面。起端的截断平面同时正交于这两个侧平面，其法向平行于轴在起端的切向；它就是 $t=0$ 的平面。终端同理为 $t={\ell }_e$。其余面均不碰该闭旧边段。在一个块内，闭段紧，所有其余支撑面的内侧不等式在其上严格成立；连续性与紧性给出共同正半径，使该径向管不碰其余面。再对有限个出现取半径最小值，得到 ${\epsilon }_e>0$，每个出现的完整 collar 恰为

$$0\le t\le {\ell }_e,0\le \rho <{\epsilon }_e,0\le \theta \le {\alpha }_{o_i}.$$

同一个块的不同旧边是两两不交的紧线段，半径还可同时缩小，使其 collars 两两不交。这避免了同一块对同一全局边贡献多次出现时的额外局部识别。侧面配对在 collar 的公共面上保持 $(t,\rho )$：它保持有序轴、到轴的垂距，以及六边形位于轴哪一侧的半平面。

令

$${\beta }_0=0,{\beta }_{i+1}={\beta }_i+{\alpha }_{o_i}.$$

逐出现将 collar 放到 ${\beta }_i\le \theta \le {\beta }_{i+1}$ 的扇区。这里的放置按出现编号，不按四面体标签编号。相邻扇区使用规定的侧面映射相接，最后一条射线使用 ${\beta }_m=2\pi$ 与第一条射线相接。所有 ${\alpha }_{o_i}>0$，故扇区内部两两不交，且恰覆盖一圈。collars 只碰该旧边的两个侧面，因此没有圈关系以外的识别。所得到的实际饱和商与

$$\{F(t,\rho ,\theta ):0\le t\le {\ell }_e,0\le \rho <{\epsilon }_e,\theta \in \mathbb{R}/2\pi \mathbb{Z}\}$$

同胚且逐扇区等距。连续逆可先在更小的闭径向 collar 上，由有限紧扇商到 Hausdorff 模型的连续双射得到，再限制到相对开 collar。旧边内部的限制是普通双曲球邻域；两个端点的限制分别是双曲半球邻域。

这也精确分开返回等距映射的两项义务。保持有序轴的环境等距映射在 Fermi 坐标中作用为轴向平移及法平面上的固定正交变换。两个有限有序端点使平移量为零。上述按实际端口的一圈扇展开使法向返回为总角 $2\pi$ 对应的恒等变换；其正角区间恰覆盖一次，同时排除反射返回及分支覆盖。无需另加依赖 $t$ 的扭转参数，因为这样的扭转不属于环境双曲等距映射。这里仅讨论旧边周围的局部返回，不要求整个流形的全局 holonomy 平凡。

精确的一圈条件不能替换为“返回旋转为恒等”或“横截面拓扑为圆盘”。总角 $4\pi$ 的锥也具有恒等旋转返回及圆盘拓扑，但其半径 $\rho$ 的横向圆周长为 $4\pi \sinh \rho$，不等于光滑双曲轴周围的 $2\pi \sinh \rho$。

16.3 cap 侧边及 cap 顶点的实际半球 link

块内部给出球图卡；侧面内部由两个相反侧的半球组成球；截断面内部直接给出半球。旧边及其端点使用第 16.2 节的同时展开。还需检查截断面与侧面的交边。

在 cap 侧边内部，恰有两个块出现沿唯一侧面相接，分别贡献一个直角四分之一球。展开公共侧面后，两截断支撑平面包含相同 cap 侧边轴，且都正交于同一个侧平面；这个条件唯一确定截断平面。两块的截断内侧半空间也相同：它们都包含被配对六边形在该 cap 侧边的内侧。与此同时，两块处于公共侧平面的相反侧。因此两个直角四分之一球恰填满一个半球，不产生边界折痕。

在一个旧边起端，令 $\tau$ 为沿该旧边指入块内的单位切向，取 ${\tau }^{\perp }$ 的正交单位基 $u,v$。第 $i$ 次出现的实际球面 link 为

$$(\psi ,\theta )⟼\cos \psi \tau +\sin \psi (\cos \theta u+\sin \theta v),0\le \psi \le \frac{\pi }{2},{\beta }_i\le \theta \le {\beta }_{i+1}.$$

其球面度量为 $d{\psi }^2+{\sin }^2\psi d{\theta }^2$，三个角分别为 ${\alpha }_{o_i},\pi /2,\pi /2$。实际侧面映射保持 $\psi$，并按端口圈连接相邻子午线。边不反转使该端类使用全部旧边出现各一次；这些角区间恰分割一圈，所以该公式诱导实际拼接 link 到圆半球的等距同构。cap 边组成其赤道，赤道作为边界保留。终端改用指向旧边内部的相反轴向，同样得到圆半球。

沿该端点的测地极坐标，邻域度量因此为

$$d{s}^2+{\sinh }^2(s)g_{S_{+}^2},$$

即双曲半球度量。这里的三维局部 link 是 cap 顶点处的半球；整个原始理想顶点的截断 link 是一个边界曲面，两者不是同一对象。六种实际层由此分别具有球或半球的几何邻域，而不仅具有抽象的拓扑球或半球。

16.4 等距转移、全测地边界及实际长度度量

取两个上述展开图卡的重叠点，缩小到该点的共同局部星形邻域。在其中一个三维块扇区上，转移是某个环境双曲等距映射 $A$ 的限制。跨到相邻扇区时，两图卡都使用规定的侧面映射，并把相邻块放到公共侧面的相反侧；第 16.1 节的延拓唯一性强制相邻扇区上的转移仍是同一个 $A$。沿有限局部星形邻域传播可达全部 incident 扇区，旧边及 cap 顶点的一圈一致性已由同时展开给出。低维层上的相等由连续性得到。因此转移局部是一个环境等距映射，不是未加约束的分片等距映射。

边界图卡的转移保留其支撑半空间，并解析延拓到边界平面另一侧。这些图卡在已有实际商拓扑上定义实解析流形带边界。它们的双曲度量拉回相同，拼成正定实解析度量 $g$，其内部截面曲率为 $-1$。由实际层的模型，唯一的流形边界正是 $B_{\mathrm{geom}}$；它局部为双曲全测地平面，故全测地。该论证是局部论证，不要求全局可定向，也不把原始面商改写成一个未经给定的群作用商。

对同一连通分量，令 $d_{\mathrm{poly}}$ 为有限块路径链长度的下确界：每段在某个实际块中，连续段端点按实际生成关系识别；令 $d_g$ 为上述 Riemannian 长度距离。每条块路径链在商中给出同长度路径，故 $d_g\le d_{\mathrm{poly}}$。

反向取一条分片光滑路径，以有限多个较小凸球或凸半球图卡覆盖其像，并细分使各段包含在一个这样的图卡内。将各段换为相同端点的模型测地段不会增加长度。每个图卡内只有有限个展开侧面平面；一条测地段与每个全测地平面至多相交一次，或整段位于其中。因而可将每段再有限细分为块路径；落在公共面上的段分配给任一 incident 块。所得有限链合法，给出 $d_{\mathrm{poly}}\le d_g$。所以

$$d_{\mathrm{poly}}=d_g.$$

该距离是诱导实际商拓扑的真正度量。若 $N$ 不连通，上述断言逐连通分量成立；整体内在长度距离在不同分量间取 $+\infty$，不为它另指定任意有限距离。

16.5 完备性、双倍及原始标记的光滑约定

有限个紧块的商紧，因此每个带边界连通分量的 Riemannian 长度度量是紧度量并且完备。沿 $B_{\mathrm{geom}}$ 将两份商以恒等映射加倍，在每个半球图卡中把第二份反射到边界平面的另一侧。cap 面内部的两个半球给出球；cap 侧边的四个直角四分之一球给出球；cap 顶点的两个实际圆半球 link 沿赤道给出圆 $S^2$。旧边在 cap 处沿轴向延长，横向角仍为 $2\pi$，没有把两端扇的角和加成 $4\pi$。

在截断支撑平面法向坐标中，度量为

$$d{s}^2+{\cosh }^2(s)h_{{\mathbb{H}}^2}.$$

它关于 $s$ 为偶函数且解析，所以反射拼接光滑；cap 侧边和顶点也由已证半球图卡覆盖。双倍因此先得到紧、无边界的光滑双曲流形，再由 Hopf–Rinow 得到测地完备。带边界原空间的完备性指包含边界的内在长度度量完备；不能据此声称所有测地线在边界内无限延伸。删除非空边界后的内部不完备，因为一条法向测地线可在有限长度内到达被删边界。这里所有块完全截断且紧，不涉及 cusp 的完备方程。

通过已固定的 $j=\overline{h}\circ r^{-1}$ 在原始 $N$ 上使用图卡 $\varphi \circ j$，并取 $g_N=j^{\ast }g$。这项拉回针对运输得到的光滑结构，故 $j$ 是等距微分同胚，且 $j(\partial N)=B_{\mathrm{geom}}$。若另有预先指定的光滑 atlas，仅有带标记同胚 $r$ 并不保证它与该 atlas 光滑相容；要求同一个字面标记相对于额外 atlas 光滑时，该相容性仍是额外义务。

16.6 文献对应及条件边界

上述紧完全截断情形对应 Roberto Frigerio、Carlo Petronio, Construction and Recognition of Hyperbolic 3-Manifolds with Geodesic Boundary, arXiv:math/0109012v1 的 Definitions 1.6–1.8（正文第 6–7 页）中 $I=Z=\varnothing$ 的几何实现：没有 ideal vertices 或 length-zero edges，截断面与侧面正交。Definition 1.10（正文第 8 页）在紧可定向流形去除规定的 tori 和 annuli 后，把 partially truncated triangulation 定义为各个 ${\Delta }^{\ast }$ 按指定侧面配对实现原流形；这里沿用其实际剖分语义，由已固定的 $r$ 和第 15 节的 $\overline{h}$ 保持同一个 marked 对应。Theorem 2.13 及 Remark 2.14（正文第 20 页）区分侧面一致性、实际内边角和 $2\pi$ 与两端 ideal 时的额外返回方程；Remark 2.14 的无 toric end 情形说明内边长度匹配和角和条件已足够处理相应匹配。该定理原文的全局陈述另有可定向、规定剖分及边界负 Euler 特征等前提；这里没有把那些前提从裸面配对中推断出来，而是在既有带标记截断实现上给出上述紧块的直接局部拼接证明。原文随后的 completeness discussion 也明确把有边界流形的完备性与双倍的完备性对应起来，并单独处理非紧端的方程。

本节是标准双曲块拼接结论在原始出现、实际面映射和同一标记上的书面落实，不申报数学原创性或 Lean kernel 核验。它以真正紧块、实际兼容等距配对、边不反转、精确出现角和以及已有带标记实现为条件；不从较弱组合条件制造共同真长度或零缺陷，不将拓扑实现代替光滑度量证明，也不结算独立的实际体积、Schläfli、全局流收敛或预先指定 atlas 的相容性义务。

16.7 字面源截断实现与固定模型商的比较

固定指定流形 $N$ 的原始理想剖分 $(T,p)$，在每个源四面体 ${\Delta }_t$ 中取该剖分实现所用的、与实际单纯面配对相容的充分小开顶点星 $S_{t,v}$，记 $$C_t={\Delta }_t\setminus \bigcup _v{S}_{t,v},F_{t,f}^C=C_t\cap \{z_f=0\},U_{t,v}^C=C_t\cap {\mathrm{Fr}}_{{\Delta }_t}{S}_{t,v}.$$ 这里 $C_t$ 是字面源截断块，$U_{t,v}^C$ 是诱导 cap；它们不按定义等于第 5 节取 $z_v\le 3/4$ 的固定模型 $K$ 及其 cap。 CFMP, arXiv:math/0402339v2, 正文第 3 页、Theorem 0.2 前的 triangulation 定义 把从 $|T|$ 删除开顶点星所得空间同胚于指定 $N$ 作为剖分语义；删除全部顶点星即 ideal triangulation。 同文正文第 6 页 “Triangulations” 的 ${\Delta }^{\ast }$、$M(T)$ 定义把实际单纯面配对限制到侧六边形，截断三角形诱导边界剖分，并明确允许 multiple adjacencies 和 self-adjacencies。 令 $p_{t,f}^C:F_{t,f}^C\to F_{u,g}^C$ 为这些实际限制，$R_C$ 为其生成等价关系，定义 $$X_C=\coprod _{t\in T}{C}_t,Q_C=X_C/R_C,q_C:X_C\to Q_C,B_C=q_C\left(\coprod _{t,v}{U}_{t,v}^C\right).$$ 原始理想剖分的上述源实现给出 $r_C:(Q_C,B_C)\stackrel{\cong }{\to }(N,\partial N)$，保留实际块、面、边及 cap 出现的诱导标记。 逐块映射 ${\chi }_t(x)=r_C(q_C(t,x))$ 是特征映射；有自粘合时不要求它在整个闭 $C_t$ 上单射，不能把源实现读成互不重叠的全局嵌入闭块。 $r_C$ 所带的是源截断诱导的 cap 参数；它足以运输本节的边界标记。要求它吻合一个独立预先指定的 $\partial N$ 参数化，是额外的比较条件。

有限几何单纯细分中的真正闭顶点星有 $\mathrm{St}(v)=v\ast \mathrm{Lk}(v)={\bigcup }_{\lambda \in \mathrm{Lk}(v)}v\ast \lambda$ 的锥形表示，开星取其相应开部分。 该并集可非凸；任意顶点邻域或任意截断 profile 不因此成为这样的字面单纯星。不同开星不交也不推出其闭包不交。 源星的实际细分、大小、诱导 cap 和边、共同面上的一致性都必须明确；若比较需要闭星分离，应另行检查或选择，不能从开集不交中补出。

要把这个源见证用于第 16 节，还须独立构造带标签块同胚 $a_t:C_t\stackrel{\cong }{\to }K$，将每个 $F_{t,f}^C$、$U_{t,v}^C$ 和诱导旧边、cap 边及端点分别送到同标签模型层，并对每个实际生成配对满足 $$a_u(p_{t,f}^C(x))=P_{{\sigma }_{t,f}}{a}_t(x)(x\in F_{t,f}^C),a_u(F_{u,g}^C)=K\cap \{z_g=0\}.$$ 该等式要求整个受限面上的相容，不只要求顶点对应、边长相等或两块各自同胚；源星与固定模型星的比较仍是显式条件。 令 $A(t,x)=(t,a_t(x))$。上述等式将每个 $R_C$ 生成识别送到第 5 节的 $R$ 生成识别；在对应模型面上代入 $x=a_t^{-1}(z)$ 得到 $$a_u^{-1}(P_{{\sigma }_{t,f}}z)=p_{t,f}^C(a_t^{-1}(z))(z\in K,z_f=0).$$ 故 $A^{-1}$ 也将每个实际生成识别送回源生成识别；对反身、对称及有限传递逐步应用两式，得到 $R_C(\xi ,\eta )⟺R(A\xi ,A\eta )$。 商拓扑的通用性质于是给出连续互逆映射 $$a:(Q_C,B_C)\stackrel{\cong }{\to }(Q,B),a(q_C(t,x))=q(t,a_t(x)),a^{-1}(q(t,z))=q_C(t,a_t^{-1}(z)).$$ cap 的逐标签对应给出 $a(B_C)=B$。因而第 16 节所需的实现及运输映射可取为 $$r=r_C\circ a^{-1},j=\overline{h}\circ a\circ r_C^{-1},r\circ a=r_C,j\circ r_C=\overline{h}\circ a.$$ 结合第 15 节的整个面等式，这还给出 $H_t=h_t\circ a_t:C_t\to P_t$ 及 $H_u\circ p_{t,f}^C=I_{t,f}\circ H_t$，所有自配对与重复出现仍逐生成元保留。

FP, arXiv:math/0109012v1, Definitions 1.7、1.8（正文第 7 页）与 1.10（第 8 页） 分别规定源 ${\Delta }^{\ast }$、其到 ${\mathbb{H}}^3$ 的几何嵌入及实现指定流形的实际剖分。 在此紧完全截断情形，FP 的 $I=Z=\varnothing$ 表示没有 FP 意义的双曲 ideal vertices 或 length-0 edges，四个顶点均按非 ideal 顶点取星截断；CFMP 的 topological ideal vertices 则通过删除顶点星对应 $N$ 的边界分量，两种术语不相互否定。 当 $C_t$ 正是该源 ${\Delta }_t^{\ast }$ 且上述比较已构造时，$H_t$ 嵌入实际源块，具有规定的全测地 cap、侧面及正交关系，而不是以任意模型商代替源剖分。 在 FP Theorem 2.13 的可定向、边界负 Euler 特征、指定剖分及四面体定向使粘合反转诱导面定向的前提下，Remark 2.14 的无 toric end 分支（正文第 20 页）把条件约化为匹配内部边长度和各实际内边总角 $2\pi$；所得结构位于该剖分实现的同一个 $N$ 上。 这项文献应用不提供缺失的 $a_t$：在完整实际小星呈示及面相容比较取得前，$r_C$ 只实现源商 $Q_C$，不能据它直接假定模型商 $Q\cong N$。

16.8 有限几何顶点星的实际径向边界

令 $\Delta =\{z\in {\mathbb{R}}^4:z_i\ge 0,{\sum }_i{z}_i=1\}$，取原顶点 $v=e_j$。设 $\mathcal{K}$ 是支撑空间恰为 $\Delta$ 的有限几何单纯复形，$v$ 是其顶点。每个面由有限个仿射独立顶点给出；任意两面的凸包交集是公共顶点集的凸包。定义实际闭星、链接及不含 $v$ 的面并集为 $${\mathrm{St}}_{\mathcal{K}}(v)=\bigcup _{s\in \mathcal{K},v\in s}\mathrm{conv}(s),L_{\mathcal{K}}(v)=\bigcup _{s\in \mathcal{K},v\in s}\mathrm{conv}(s\setminus \{v\}),B_v=\bigcup _{s\in \mathcal{K},v\notin s}\mathrm{conv}(s).$$ 空凸包贡献为空。这里允许闭星非凸。记相对开星为 $O_v=\Delta \setminus B_v$，并取实际小星条件 $${\mathrm{St}}_{\mathcal{K}}(v)\subset \{z\in \Delta :1-z_j\le b\},b<1.$$ 这条件针对字面闭星；不同开星不交不能供应它。

令 $D_j=\{u\in \Delta :u_j=0\}$，$r_j(z)=1-z_j$。在 $\Delta \setminus \{v\}$ 上定义 $$p_j(z{)}_j=0,p_j(z{)}_k=\frac{z_k}{r_j(z)}(k\ne j).$$ 则 $p_j:L_{\mathcal{K}}(v)\to D_j$ 是同胚。特别地， $$h_j(u)=r_j((p_j{|}_{L_{\mathcal{K}}(v)}{)}^{-1}(u))$$ 是连续函数，且 $0<h_j(u)\le b<1$。实际星与 cap 具有精确表示 $$\begin{array}{rl}{L}_{\mathcal{K}}(v)& =\{(1-h_j(u))v+h_j(u)u:u\in D_j\},\\ {\mathrm{St}}_{\mathcal{K}}(v)& =\{v\}\cup \{(1-r)v+ru:u\in D_j,0<r\le h_j(u)\},\\ O_v& =\{v\}\cup \{(1-r)v+ru:u\in D_j,0<r<h_j(u)\},\\ {\mathrm{Fr}}_{\Delta }{O}_v& =L_{\mathcal{K}}(v).\end{array}$$

射线唯一性。 每个非空 $s\setminus \{v\}$ 都是 $\mathcal{K}$ 的面，仿射独立性保证 $v$ 不在其仿射包内。若 $x,y\in L_{\mathcal{K}}(v)$ 位于同一正射线，选含 $v$ 的面 $s,t$，使 $x\in \mathrm{conv}(s\setminus \{v\})$、$y\in \mathrm{conv}(t\setminus \{v\})$，并交换两者以写成 $$x-v=c(y-v),0<c\le 1.$$ 凸性给出 $x\in \mathrm{conv}(t)$；对 $s\setminus \{v\}$ 与 $t$ 使用实际凸包交集律，得到 $x\in \mathrm{conv}(t\setminus \{v\})$。若 $c\ne 1$，两点 $x,y$ 的仿射包包含 $$v=-\frac{1}{c-1}(x-y)+y,$$ 与 $v\notin \mathrm{aff}(t\setminus \{v\})$ 矛盾。所以 $c=1$，$x=y$。此论证使用实际公共面及仿射独立性，没有把所需射线纤维定义成新的等价关系。

方向覆盖与连续性。 不含 $v$ 的每个面凸包都紧且避开 $v$；有限并 $B_v$ 因而紧且避开 $v$。所以 $\Delta$ 中存在 $v$ 的相对邻域与 $B_v$ 不交。对任意 $u\in D_j$，在该邻域取 $z=(1-\epsilon )v+\epsilon u$，$0<\epsilon <1$。由于 $\mathcal{K}$ 覆盖 $\Delta$，$z$ 属于某个面的凸包；该面必须含 $v$。将 $z$ 的重心组合中非 $v$ 的权重归一化，得到 $y\in L_{\mathcal{K}}(v)$ 与 $z-v=\lambda (y-v)$，$0<\lambda \le 1$。于是 $p_j(y)=u$。链接自身紧，且不含 $v$，故其上 $r_j>0$、$p_j$ 连续。刚证明的覆盖和射线唯一性给出连续双射；紧源到 Hausdorff 目标的判据给出同胚与连续正函数 $h_j$。

实际开星与 frontier。 公共面交集律给出 $$B_v\cap {\mathrm{St}}_{\mathcal{K}}(v)=L_{\mathcal{K}}(v),O_v={\mathrm{St}}_{\mathcal{K}}(v)\setminus L_{\mathcal{K}}(v).$$ 第二式也表明 $O_v$ 就是所有含 $v$ 的面的相对内部之并：每点的重心支撑给出其唯一最小面；该最小面含 $v$ 当且仅当该点不属于 $B_v$。对闭星中的一点，将含 $v$ 的面的重心组合分解为 $v$ 与某个链接点的凸组合，得到 $0\le r\le h_j(u)$；反向包含来自同一面的凸性。除去链接即得严格不等式。沿同一射线从内侧趋向每个链接点，说明 ${\overline{O_v}}^{\Delta }={\mathrm{St}}_{\mathcal{K}}(v)$。$B_v$ 闭，故 $O_v$ 相对开；于是其相对 frontier 恰为链接。条件 $h_j<1$ 还保证每个 cap 点的同一射线在 $\Delta$ 内有外侧部分。