bibkey: berczes2013effective
authors: Attila Bérczes; Jan-Hendrik Evertse; Kálmán Győry
year: 2013
title: "Effective results for hyper- and superelliptic equations over number fields"
doi: null
url: https://arxiv.org/abs/1301.7168
claim: Explicit height bound for squarefree polynomial equations f(x)=b*y^2, specialized to the bounded-quotient elliptic curves in the Erdős 699 continuation.
strata_touched: []
license: citation-only
triage: anchor

Erdős 699：有界商椭圆曲线的显式高度输入

研究关联：issue #9670，PR #9723。 推导正文：docs/develop/theory/ERDOS_699_BINOMIAL_COMMON_PRIME.md，§§21–24。 这里只记录来源和应用边界，不登记 Lean/Scribe 真值或整题解决状态。

已核对来源

Attila Bérczes, Jan-Hendrik Evertse, Kálmán Győry, Effective results for hyper- and superelliptic equations over number fields, arXiv:1301.7168v1 (2013-01-30).

• 元数据：https://arxiv.org/abs/1301.7168
• 全文：https://arxiv.org/pdf/1301.7168
• 读取日期：2026-09-24。
• 已读取印刷页 3 的对数高度定义、印刷页 4 的前提和 Theorem 2.2，并成功取得第 4 页截图核对 (2.6) 的指数及符号。其他页面截图请求未成功，不声称已逐页图像审查全文。

设 r>=3，f 属于 O_S[X] 且无重根，b 为非零 S-整数。Theorem 2.2 对 f(x)=b*y^2 的 S-整数解给出

h(x),h(y) <= (4*r*s)^(2^12*r^4*s) * |D_K|^(8*r^3)
             * Q_S^(20*r^3) * exp(50*r^4*d*hhat).

这里 d=[K:Q]、s=|S|；只有无穷位置时 Q_S=1。hhat 是同时包含 b 和 f 全部系数的对数高度。它是已有的显式定理，本轮没有重新证明。

本次准确代入

在 i=3 的反例假设下，新耦合不等式先限制

kappa <= floor((729*k^3-1)/(8*c^8*49^2)),
kappa 是 c 的正奇倍数，c 属于 {1,3}。

再构造整数点

Y^2 = X^3 + 18*kappa*k*X - 8*kappa^3*k.

该三次多项式判别式为

-864*kappa^3*k^2*(2*kappa^3+27*k) != 0。

取数域 Q、S={infinity}、b=1、r=3，可将上述外部界准确化为

log max(1,|X|,|Y|) <= 12^331776 * M^4050,
M=max(1,18*kappa*k,8*kappa^3*k)。

331776=2^123^4，4050=503^4。无需已知 Mordell–Weil 基或假定曲线秩。

对于给定正整数 K，若 k<=K，则 kappa<K^3、M<=18*K^10，理论卷给出

H_K=12^331776*(18*K^10)^4050,
n < 3^(2*H_K)。

这是显式但极大的截止，未实际枚举它。它只证明每个有界商区域可以有效归约为有限集合，不证明全体 k 有界，不证明 i=3 的全体反例有限或不存在。椭圆曲线整数点必须再还原 A,B,d 并检查光滑分母、合法范围、系数整性及完整 Kummer 条件。

与 bugeaud2017sparts.md 的 Bugeaud–Evertse–Győry 2017 非有效 S-part 输入区分：作者首位、论文、定理、使用前提和有效性均不同。来源归原作者；本轮不作优先权声明。

后续应用：Theorem 2.1 的二进 S-整数方向

2026-09-24，续接 PR #9755，理论卷 §§29–30。原条目和此前 Theorem 2.2 应用完整保留。

本轮实际重新读取印刷页 3 的高度定义、页 4 的 Theorem 2.1，成功截图核对页 4 的 (2.4)。页 3 未取得成功截图，使用其解析文本。Theorem 2.1 对无重根的次数 r>=2 多项式和指数 m>=3 给出

h(x),h(y) <= (6*r*s)^(14*m^3*r^3*s) * |D_K|^(2*m^2*r^2)
             * Q_S^(3*m^2*r^2) * exp(8*m^2*r^3*d*hhat).

三次判别式的精确缩放给出

ell^3-27*k^2 = c^6*2^(2a-2)*Delta.

写 a-1=3q+r0，r0属于{0,1,2}，取 x=ell/2^(2q)、y=k/2^(3q)，便有

27*y^2 + c^6*4^r0*Delta = x^3,   x,y 属于 Z[1/2]。

此时按次数2、多项式值为三次幂使用定理：K=Q，S={infinity,2}，s=2，Q_S=2，b=1，m=3。常数项 D0=c^64^r0Delta>=49，所以联合高度 hhat=log D0。准确代入得到

h(x),h(y) <= 24^6048 * 2^108 * (16*c^6*Delta)^576。

ell和k的奇性保证最简分母恰是2^(2q)、2^(3q)，故h(y)>=3q*log2。理论卷据此证明

a < 3 + C_c*Delta^576, C_c=2^20557*3^6048*c^3456。

这不预先限制k。联合旧判别式上界得到d=O(2^(a/3)a^(-1/1728))；常数极大，只能按其确切渐近和有效有限性含义使用。再联合中点不等式得到a<3+Gamma_ck^864，Gamma_c=2^196933^7776c^864，改进有界商截止。

这些是本项目对已知定理的应用，没有重新证明外部高度定理。新界未给Delta或k全局上界，未证明完整i=3有限性或原题无反例。核验程序只检查代数、分母和常数代入，不能承担原论文的证明。